Una disequazione di primo grado è un'espressione algebrica che stabilisce una relazione d'ordine tra due termini contenenti una variabile lineare. Può essere scritta nella forma:
\[ a x + b \leq 0 \quad \text{oppure} \quad a x + b \geq 0 \]
dove \( a \) e \( b \) sono coefficienti reali con \( a \neq 0 \) e \( x \) è la variabile incognita. Si parla di disequazione in senso stretto se
\[ a x + b < 0 \quad \text{oppure} \quad a x + b > 0 \]
Indice
- Differenza tra Equazioni e Disequazioni di Primo Grado
- Principi di Equivalenza per le Disequazioni
- Come risolvere le Disequazioni di Primo Grado
- Rappresentazione Grafica delle Soluzioni delle Disequazioni di Primo Grado
Differenza tra Equazioni e Disequazioni di Primo Grado
Un'equazione di primo grado è un'uguaglianza tra due espressioni contenenti una variabile lineare. La sua soluzione è costituita da un unico valore che soddisfa l'uguaglianza. Una disequazione di primo grado, invece, definisce un insieme di valori per cui la relazione d'ordine è verificata. L'insieme delle soluzioni di una disequazione è generalmente costituito da un intervallo di numeri reali.
Principi di Equivalenza per le Disequazioni
La risoluzione una disequazione di primo grado si basa su tre principi fondamentali:
Primo Principio di Equivalenza
Il principio di equivalenza per le disequazioni, o principio di addizione, afferma che, se si aggiunge o sottrae lo stesso numero a entrambi i membri di una disequazione, la relazione di ordine non cambia. Ad esempio:
Se \( a x + b \leq 0 \), allora possiamo aggiungere \( c \) a entrambi i membri e ottenere:
\[ a x + b + c \leq c \]
Secondo Principio di Equivalenza
Il secondo principio di equivalenza, afferma che, se si moltiplica o divide entrambi i membri di una disequazione per un numero positivo, la relazione di ordine non cambia. Tuttavia, se si moltiplica o divide per un numero negativo, la disequazione deve essere invertita. Ecco alcuni esempi:
Se \( a x + b \leq 0 \) e moltiplichiamo entrambi i membri per un numero positivo \( k \), otteniamo:
\[ k(a x + b) \leq k \cdot 0 \]
Se, invece, moltiplichiamo per un numero negativo \( k \), la disequazione diventa:
\[ k(a x + b) \geq k \cdot 0 \]
Attenzione al Cambiamento del Segno della Disequazione
Quando si moltiplica o si divide entrambi i membri di una disequazione per un numero negativo, è fondamentale invertire il segno della disequazione. Ad esempio:
Se \( -3 x \leq 6 \), dividendo entrambi i membri per \( -3 \), dobbiamo invertire il segno della disequazione:
\[ x \geq -2 \]
Come risolvere le Disequazioni di Primo Grado
La risoluzione di una disequazione di primo grado può essere divisa in passaggi chiari e sistematici. I passaggi generali per risolvere una disequazione di primo grado sono:
Passaggi Generali per Risolvere una Disequazione
- Isolare il termine con la variabile: Spostiamo tutti i termini che non contengono la variabile da un lato (solitamente il membro a destra) della disequazione e i termini che contengono la variabile dall'altro lato.
- Applicare il principio di addizione o sottrazione: Se necessario, aggiungiamo o sottrai lo stesso numero da entrambi i membri della disequazione per isolare il termine con la variabile.
- Moltiplicare o dividere per un coefficiente: Se la variabile ha un coefficiente numerico, dividiamo entrambi i membri per il coefficiente della variabile. Se si moltiplica o divide per un numero negativo, ricordiamoci di invertire il segno della disequazione.
- Verifica della soluzione: Una volta isolata la variabile, verifichiamo che la soluzione soddisfi la disequazione iniziale.
Esempi Pratici con Spiegazioni Passo-Passo
Vediamo ora un esempio pratico di risoluzione di una disequazione di primo grado:
Esempio 1. Risolvi la disequazione \( 3x - 5 \leq 7 \).
Iniziamo applicando i passaggi sopra descritti:
- Isolare il termine con la variabile: Sommiamo \( 5 \) a entrambi i membri per ottenere: \[ 3x \leq 7 + 5 \quad \Rightarrow \quad 3x \leq 12 \]
- Dividere entrambi i membri per \( 3 \): Dividiamo entrambi i membri per \( 3 \) per isolare \( x \): \[ x \leq \frac{12}{3} \quad \Rightarrow \quad x \leq 4 \]
- Verifica della soluzione: La soluzione \( x \leq 4 \) è la risposta finale. Se sostituissimo \( x = 4 \) nella disequazione originale, avremmo: \[ 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7 \quad \Rightarrow \quad 7 \leq 7 \] Che è vero. Quindi la soluzione è corretta e la rappresentazione grafica è la seguente:
Esempio 2: Risolvi la disequazione \( -2x + 3 > 7 \)
Adesso vediamo un altro esempio con un coefficiente negativo davanti alla variabile:
- Isolare il termine con la variabile: Prima sottrai \( 3 \) da entrambi i membri: \[ -2x > 7 - 3 \quad \Rightarrow \quad -2x > 4 \]
- Dividere entrambi i membri per \( -2 \): Quando dividiamo per un numero negativo, invertiamo il segno della disequazione: \[ x < \frac{4}{-2} \quad \Rightarrow \quad x < -2 \]
- Verifica della soluzione: La soluzione \( x < -2 \) è corretta. Se sostituissimo \( x = -3 \) (che è minore di -2), avremmo: \[ -2(-3) + 3 = 6 + 3 = 9 \quad \Rightarrow \quad 9 > 7 \] Che è vero. Quindi la soluzione è corretta e la rappresentazione grafica è la seguente.
Rappresentazione Grafica delle Soluzioni delle Disequazioni di Primo Grado
Come abbiamo già visto, la rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione di primo grado su una retta numerica è un modo molto utile per visualizzare l'intervallo di soluzioni. In generale, la soluzione di una disequazione di primo grado può essere rappresentata come un segmento o una parte della retta numerica, a seconda che la disuguaglianza sia stretta o meno.
Come Rappresentare le Soluzioni su una Retta Numerica
Per rappresentare le soluzioni di una disequazione di primo grado su una retta numerica, segui questi passaggi:
- Identifica la soluzione: Una volta risolta la disequazione, determina l'intervallo di soluzioni. Ad esempio, se la soluzione è \( x \leq 4 \), l'intervallo di soluzioni è \( (-\infty, 4] \).
- Traccia la retta numerica: Disegna una retta orizzontale e marca i numeri significativi, come i limiti dell'intervallo di soluzioni.
- Indica la soluzione:
- Se la disequazione è del tipo \( \leq \) o \( \geq \), indica il limite dell'intervallo con un cerchio chiuso sulla retta numerica.
- Se la disequazione è del tipo \( < \) o \( > \), indica il limite con un cerchio aperto, che segnala che quel punto non è incluso nella soluzione.
- Indica l'intervallo: Traccia una linea continua o tratteggiata per rappresentare l'intervallo di soluzioni.
Interpretazione Grafica della Soluzione
L'interpretazione grafica delle soluzioni di una disequazione su una retta numerica consente di visualizzare rapidamente quale sia l'insieme dei valori che soddisfano la relazione. Ecco alcuni esempi di come vengono rappresentate le soluzioni:
Esempio 1. Soluzione \( x \leq 4 \)
La soluzione \( x \leq 4 \) implica che tutti i numeri minori o uguali a \( 4 \) sono soluzioni. La rappresentazione grafica è la seguente:
Soluzione. \( x \leq 4 \).
Nella retta numerica, vediamo un cerchio chiuso in \( 4 \) (perché \( 4 \) è incluso) e una semiretta che parte da \( -\infty \) e va verso \( 4 \).
Esempio 2. Soluzione \( x > -2 \).
La soluzione \( x > -2 \) implica che tutti i numeri maggiori di \( -2 \) sono soluzioni. La rappresentazione grafica è la seguente:
Nella retta numerica, vediamo un cerchio aperto in \( -2 \) (perché \( -2 \) non è incluso) e una linea continua che parte da \( -2 \) e va verso \( +\infty \).
Esempio 3. Soluzione \( -2 \leq x < 5 \)
La soluzione \( -2 \leq x < 5 \) è un intervallo che include \( -2 \) ma esclude \( 5 \). La rappresentazione grafica è la seguente:
Nella retta numerica, vediamo un cerchio chiuso in \( -2 \) e un cerchio aperto in \( 5 \), con una linea continua tra di essi.
L'interpretazione grafica di queste soluzioni mostra visivamente quali valori soddisfano la disequazione, rendendo facile per chi studia vedere l'insieme di soluzioni.
