La disuguaglianza di Bernoulli, enunciata dal matematico svizzero Jacob Bernoulli nel 1689, è di fondamentale importanza perché consente di stabilire stime approssimative superiori e inferiori per le funzioni esponenziali e polinomiali.
Teorema. (Disuguaglianza di Bernoulli). Sia \(x \in \mathbb{R}\) tale che \(x \geq -1\). Allora per ogni \(n \in \mathbb{N}\) vale la seguente disuguaglianza:
\[ (1 + x)^n \geq 1 + nx \]
Dimostrazione. Procediamo per induzione sul naturale \(n\).
Base induttiva: Per \(n = 0\), abbiamo:
\[ (1 + x)^0 = 1 = 1 + 0 \cdot x \]
quindi la tesi è verificata.
Ipotesi induttiva: Supponiamo che la disuguaglianza sia vera per un certo \(k \in \mathbb{N}\), ovvero:
\[ (1 + x)^k \geq 1 + kx \]
Passo induttivo: Dimostriamo che la disuguaglianza vale per \(k + 1\). Moltiplichiamo entrambi i membri dell'ipotesi induttiva per \((1 + x)\). Tale operazione preserva il verso della disuguaglianza poiché \(x \geq -1\) implica \((1 + x) \geq 0\). Otteniamo:
\[ \begin{align} (1 + x)^{k+1} & \geq (1 + kx)(1 + x) \\ & = 1 + x + kx + kx^2 \\ & = 1 + (k + 1)x + kx^2 \\ & \geq 1 + (k + 1)x \end{align} \]
L'ultima disuguaglianza è giustificata dal fatto che \(kx^2 \geq 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\) e \(k \in \mathbb{N}\). Per il principio di induzione, la disuguaglianza è dimostrata per ogni \(n \in \mathbb{N}\).
Osservazione. La condizione \(x \geq -1\) è necessaria per garantire che la moltiplicazione per \((1 + x)\) nel passo induttivo preservi il verso della disuguaglianza.
Esempio. La disuguaglianza di Bernoulli può essere utilizzata per stimare la funzione esponenziale \(e^x\). Sapendo che
\[ e^x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \]
possiamo applicare la disuguaglianza e ottenere una stima inferiore.
La disuguaglianza di Bernoulli ci dice che:
\[ \begin{align*} e^x & = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \\ & \geq \lim_{n \to \infty} \left(1 + n \cdot\frac{x}{n}\right) = 1 + x. \end{align*} \]
Dunque \(e^x \geq 1 + x\). Questo risultato fornisce una stima semplice e immediata per la funzione esponenziale, senza dover effettuare calcoli complicati.
