Equazioni di Secondo Grado

Un'equazione è di secondo grado se e solo se può essere scritta nella seguente forma, detta forma canonica:

\[ a x ^ 2 + b x + c = 0 \quad , \quad a \neq 0 \]

I numeri reali \( a , b \) e \( c \) prendono il nome di coefficiente quadratico, lineare e noto.

Si può sempre supporre che il coefficiente quadratico sia maggiore di zero. Infatti, nel caso in cui \( a < 0 \), basta moltiplicare entrambi i membri per \( -1 \) per ricondursi al caso \( a > 0 \).

Indice

• Completamento dei Quadrati
• Formula Ridotta
• Equazioni di Secondo Grado Monomie
• Equazioni di Secondo Grado Pure
• Equazioni di Secondo Grado Spurie
• Relazione tra Somma e Prodotto delle Radici
• Esercizi Svolti
• Significato Geometrico

In questa sezione dedurremo la formula generale per risolvere qualsiasi equazione di secondo grado. Partiamo dalla forma canonica:

\[ ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0 \]

Per semplificare i calcoli, dividiamo tutto per \( a \), così da rendere il coefficiente del termine quadratico uguale a 1:

\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \]

Ora isoliamo il termine noto portandolo a destra:

\[ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \]

A questo punto, applichiamo il metodo del completamento dei quadrati. Il trucco consiste nell'aggiungere e sottrarre il termine giusto per trasformare il primo membro in un quadrato perfetto. Questo termine è:

\[ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]

Aggiungiamolo su entrambi i membri:

\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]

Il primo membro ora è il quadrato di un binomio:

\[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} \]

Riscriviamo il secondo membro con denominatore comune:

\[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \]

Ora estraiamo la radice quadrata da entrambi i membri, ricordando che la radice di un quadrato è il valore assoluto:

\[ \left| x + \frac{b}{2a} \right| = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Da qui ricaviamo direttamente \( x \):

\[ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Infine, isoliamo \( x \) e otteniamo la celebre formula risolutiva:

\[ x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Il termine sotto radice, noto come discriminante e indicato con \( \Delta \), è definito come:

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Ma cosa rappresenta il discriminante? Esso ci permette di capire a colpo d'occhio il tipo di soluzioni che avrà l'equazione. Analizziamolo nei tre casi possibili:

• \( \Delta > 0 \): il discriminante è positivo, quindi la radice è un numero reale. Ciò significa che l’equazione ha due soluzioni reali e distinte.
• \( \Delta = 0 \): la radice quadrata di zero è zero, quindi la formula ci restituisce un'unica soluzione ripetuta. In altre parole, l’equazione ha due soluzioni coincidenti (o una soluzione doppia).
• \( \Delta < 0 \): la radice di un numero negativo non è un numero reale, quindi l’equazione non ha soluzioni reali, ma due soluzioni complesse con parte immaginaria.

Questo significa che, guardando solo il valore di \( \Delta \), possiamo prevedere la natura delle soluzioni senza dover risolvere direttamente l'equazione.

La formula ridotta è una versione semplificata della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, utile quando il coefficiente \( b \) è pari.

Consideriamo un'equazione di secondo grado nella forma canonica:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Se il coefficiente \( b \) è pari, possiamo scriverlo come:

\[ b = 2k \]

Sostituendo nell'equazione otteniamo:

\[ ax^2 + 2kx + c = 0 \]

La formula risolutiva classica è:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Sostituendo \( b = 2k \):

\[ x = \frac{-2k \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a} \]

\[ x = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a} \]

\[ x = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a} \]

Dividendo numeratore e denominatore per 2:

\[ x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a} \]

Infine, possiamo esprimere la formula ridotta come:

\[ x = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac}}{a} \]

Il discriminante ridotto è dato da:

\[ \Delta' = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac \]

Ora confrontiamolo con il discriminante della formula completa:

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Sostituendo \( b = 2k \), otteniamo:

\[ \Delta = (2k)^2 - 4ac \]

\[ \Delta = 4k^2 - 4ac \]

Dividendo tutto per 4:

\[ \frac{\Delta}{4} = k^2 - ac \]

Poiché \( k = \displaystyle \frac{b}{2} \), possiamo riscrivere:

\[ \frac{\Delta}{4} = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac \]

che è esattamente la definizione di \( \Delta' \).

Dunque, possiamo concludere che:

\[ \Delta' = \frac{\Delta}{4} \]

Un'equazione si dice monomia se si riduce a un unico termine quadratico, ossia della forma:

\[ ax^2 = 0 \]

Per risolvere questa equazione, dividiamo entrambi i membri per \( a \) (assumendo \( a \neq 0 \)):

\[ x^2 = 0 \]

Estraendo la radice quadrata, otteniamo la soluzione:

\[ x = 0 \]

Sebbene il valore sia unico, matematicamente si considerano due soluzioni coincidenti: \( x_1 = x_2 = 0 \).

Un'equazione è detta pura se, nella forma generale \( ax^2 + bx + c = 0 \), il coefficiente \( b \) è nullo, riducendosi a:

\[ ax^2 + c = 0 \]

Per risolvere questa equazione, portiamo il termine noto \( c \) al secondo membro:

\[ ax^2 = -c \]

Dividiamo entrambi i membri per \( a \):

\[ x^2 = -\frac{c}{a} \]

Le soluzioni esistono solo se \( \displaystyle -\frac{c}{a} \geq 0 \), altrimenti l’equazione non ha soluzioni reali. Se il valore sotto radice è positivo, otteniamo:

\[ x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \]

Un'equazione è detta spuria se il termine noto è nullo, ovvero:

\[ ax^2 + bx = 0 \]

In questo caso, possiamo risolverla raccogliendo \( x \) come fattore comune:

\[ x (ax + b) = 0 \]

Applicando la legge di annullamento del prodotto, otteniamo le due soluzioni:

\[ x = 0 \quad \text{oppure} \quad x = -\frac{b}{a} \]

Queste soluzioni possono essere trovate anche applicando la formula risolutiva generale delle equazioni di secondo grado.

Consideriamo l'equazione quadratica del tipo \( ax^2 + bx + c = 0 \), dove \( a \), \( b \) e \( c \) sono i coefficienti. Sia \( x_1 \) e \( x_2 \) le radici di questa equazione. Ora, vogliamo scrivere l'equazione in termini delle radici. Un'equazione di secondo grado può essere scritta come il prodotto dei fattori \( (x - x_1) \) e \( (x - x_2) \), quindi possiamo scrivere:

\[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \]

Sviluppando il prodotto a sinistra, otteniamo:

\[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 \]

Ora, per la proprietà distributiva, moltiplichiamo \( a \) su ogni termine, ottenendo:

\[ ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0 \]

A questo punto, possiamo confrontare questa espressione con l'equazione originale \( ax^2 + bx + c = 0 \). In particolare, vediamo che i coefficienti devono essere uguali. Confrontando il termine lineare, otteniamo:

\[ -a(x_1 + x_2) = b \]

Risolvendo per \( x_1 + x_2 \), otteniamo:

\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]

Allo stesso modo, confrontando il termine costante, otteniamo:

\[ ax_1x_2 = c \]

Risolvendo per il prodotto delle radici, otteniamo:

\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]

In sintesi, le radici \( x_1 \) e \( x_2 \) sono legate ai coefficienti \( a \), \( b \) e \( c \) attraverso queste due semplici relazioni: la somma delle radici è \( \displaystyle -\frac{b}{a} \) e il prodotto delle radici è \( \displaystyle \frac{c}{a} \). Queste proprietà sono fondamentali e ci permettono di dedurre informazioni importanti sulle radici senza calcolarle direttamente.

Esercizio 1.Risolvere l'equazione di secondo grado \( x^2 - 3x - 5 = 0 \).

Soluzione. Per risolverla, utilizziamo la seguente formula:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

In questo caso, i coefficienti sono \( a = 1 \), \( b = -3 \) e \( c = -5 \). Applicando la formula:

\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2} \]

Le soluzioni sono quindi:

\[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{29}}{2} \quad , \quad  x_2 = \frac{3 - \sqrt{29}}{2} \]

Esercizio 2 (forma ridotta). Trovare le soluzioni della seguente equazione \( x^2 + 6x = 0 \).

Soluzione. Per risolverla, possiamo raccogliere il fattore comune:

\[ x(x + 6) = 0 \]

Le soluzioni sono quindi: \( x_1 = 0 \) e \( x_2 = -6 \).

Esercizio 3 (equazione monomia). Trovare le soluzioni dell'equazione \( x^2 = 16 \).

Soluzione. Per risolverla, possiamo estrarre la radice quadrata da entrambi i membri:

\[ x = \pm \sqrt{16} = \pm 4 \]

Le soluzioni sono quindi: \( x_1 = 4 \) e \( x_2 = -4 \).

Esercizio 4 (equazione pura). Trovare le soluzioni dell'equazione \( x^2 + 9 = 0 \).

Soluzione. Isoliamo \( x^2 \):

\[ x^2 = -9 \]

Poiché non esistono numeri reali che soddisfano questa equazione, l'equazione non ammette soluzioni reali.

Esercizio 5. Trovare le soluzioni della seguente equazione \( x^2 - 4 = 0 \).

Soluzione. Isoliamo \( x^2 \):

\[ x^2 = 4 \]

Ora estraiamo la radice quadrata da entrambi i membri:

\[ x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \]

Le soluzioni sono quindi:

\[ x_1 = 2 \quad , \quad x_2 = -2 \]

Dal punto di vista geometrico, risolvere una equazione di secondo grado significa trovare i valori reali (se esistono) per i quali la parabola di equazione \( y = ax^2 + bx + c \) interseca l'asse delle ascisse \( x \) o, se volete, la retta  \( y = 0 \).