Le successioni monotone (sia crescenti che decrescenti) godono di una proprietà molto importante: hanno sempre limite, finito o infinito. Questo risultato, noto come teorema del limite di una successione monotona, ci dice precisamente che una successione crescente tende al suo estremo superiore, mentre una successione decrescente tende al suo estremo inferiore.
Teorema (limite di una successione monotona). Sia \( \{ a_n \}\) una successione monotona. Allora essa ha limite e si ha
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \begin{cases} \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{ R } \cup \{ +\infty \} &\text{se} \ \{ a_n \} \ \text{è crescente,} \\ \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{ R } \cup \{ -\infty \} &\text{se} \ \{ a_n \} \ \text{è decrescente.} \end{cases} \]
Dimostrazione per \( a_n \) Crescente
Dimostrazione (\( \{ a_n \} \) crescente). Sia \(S = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Per definizione di estremo superiore:
\[\forall n \in \mathbb{N} \quad : \quad a_n \leq S\]
\[\forall \varepsilon > 0\ \quad \exists k \in \mathbb{N} \quad : \quad S - \varepsilon < a_k\]
Poiché la successione è crescente, per ogni \(n \geq k\) abbiamo:
\[S - \varepsilon < a_k \leq a_n \leq S\]
Quindi:
\[ |a_n - S| < \varepsilon \quad \forall n \geq k \]
Pertanto, \(\lim_{n \to \infty} a_n = S = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Se invece \(S = +\infty\), allora \(\{a_n\}\) non ha maggioranti e quindi
\[\forall M > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad a_\nu > M;\]
per la crescenza di \(\{a_n\}\) segue che
\[a_n \geq a_\nu > M \quad \forall n \geq \nu \]
cioè \(a_n \to +\infty\) per \(n \to +\infty\).
Dimostrazione per \( a_n \) Decrescente
Dimostrazione (\( \{ a_n \} \) decrescente). Sia \(L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Per definizione di estremo inferiore:
\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad : \quad L \leq a_n \]
\[ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists k \in \mathbb{N} \quad : \quad L \leq a_k < L + \varepsilon \]
Poiché la successione è decrescente, per ogni \(n \geq k\) abbiamo:
\[ L \leq a_n \leq a_k < L + \varepsilon \]
Quindi:
\[ |a_n - L| < \varepsilon \quad \forall n \geq k \]
Pertanto, \(\lim_{n \to \infty} a_n = L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Se invece \(L = -\infty\), allora \(\{a_n\}\) non ha minoranti e quindi
\[\forall M > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad a_\nu < -M;\]
per la decrescenza di \(\{a_n\}\) segue che
\[a_n \leq a_\nu < -M \quad \forall n \geq \nu \]
cioè \(a_n \to -\infty\) per \(n \to +\infty\).
In entrambi i casi, abbiamo dimostrato che il limite esiste ed è uguale all'estremo superiore nel caso crescente e all'estremo inferiore nel caso decrescente.
