Vogliamo dimostrare che:
\[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e \]
Dimostrazione con il Logaritmo e L'Hôpital
Definiamo la funzione:
\[ y = \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \]
Prendiamo il logaritmo naturale:
\[ \ln y = x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \]
Studiamo il limite:
\[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \]
Applichiamo L'Hôpital alla forma indeterminata \( \frac{0}{0} \):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1 + \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = 1 \]
Segue che \( \ln y \to 1 \) e quindi \( y \to e \).
Dimostrazione del limite con la Serie di Taylor
Consideriamo la funzione:
\[ y = \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \]
Prendiamo il logaritmo naturale di entrambi i membri:
\[ \ln y = x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \]
Per calcolare il limite, utilizziamo lo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo naturale attorno a \( u = 0 \):
\[ \ln(1 + u) \approx u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \dots, \quad \text{per } u \to 0 \]
Poniamo \( u = \frac{1}{x} \). Sostituendo nello sviluppo, otteniamo:
\[ \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \approx \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \dots \]
Moltiplichiamo entrambi i membri per \( x \):
\[ x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \approx x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \dots \right) \]
Semplificando i termini:
\[ x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \approx 1 - \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x^2} - \dots \]
Facendo tendere \( x \to \infty \), tutti i termini del tipo \( \frac{1}{x^n} \) con \( n \geq 1 \) tendono a 0. Rimane quindi:
\[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) = 1 \]
Elevando entrambi i membri a \( e \), otteniamo:
\[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e^1 = e \]