Vogliamo calcolare il limite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b} \]
In questa dimostrazione, vedremo due metodi principali per calcolare il limite in questione. Il primo approccio si basa sull'utilizzo della nota proprietà del limite, che afferma che \(\lim_{x \to 0} \displaystyle \frac{\sin(x)}{x} = 1\), applicata opportunamente. Il secondo approccio utilizza le serie di Taylor per approssimare \(\sin(x)\) in un intorno di \(x = 0\), permettendoci di ottenere il risultato in modo analitico. Vediamo ora entrambe le dimostrazioni in dettaglio.
Approccio usando la proprietà del limite
Scriviamo il limite come:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(ax)}{ax} \cdot \frac{bx}{\sin(bx)} \cdot \frac{a}{b} \right) \]
Utilizziamo la proprietà \(\lim_{x \to 0} \displaystyle \frac{\displaystyle \sin(x)}{x} = 1\), applicandola a \(\sin(ax)\) e \(\sin(bx)\):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1 \quad \text{e} \quad \lim_{x \to 0} \frac{bx}{\sin(bx)} = 1 \]
Il limite si semplifica quindi a:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b} \]
Approccio usando le serie di Taylor
La serie di Taylor per \(\sin(x)\) intorno a \(x = 0\) è:
\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \]
Usando questa espansione, possiamo scrivere \(\sin(ax)\) e \(\sin(bx)\) come:
\[ \sin(ax) = ax - \frac{(ax)^3}{6} + O(x^5) \quad \text{e} \quad \sin(bx) = bx - \frac{(bx)^3}{6} + O(x^5) \]
Consideriamo il rapporto \(\displaystyle \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)}\):
\[ \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{ax - \displaystyle \frac{(ax)^3}{6} + O(x^5)}{bx - \displaystyle \frac{(bx)^3}{6} + O(x^5)} \]
Quando \(x \to 0\), i termini che contengono \(x^2\) e di ordine superiore tendono a zero. Quindi, il limite diventa: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b} \]