Il seguente limite notevole è di fondamentale importanza poiché compare spesso nel calcolo dei limiti, nello studio delle derivate e nelle approssimazioni delle funzioni trigonometriche.
Ne forniremo due dimostrazioni: una basata su un'identità trigonometrica, che sfrutta la relazione tra seno e coseno, e un'altra mediante lo sviluppo in serie di Taylor della funzione coseno.
Il limite notevole che intendiamo dimostrare è il seguente:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \]
Identità trigonometrica
Utilizziamo l'identità:
\[ 1 - \cos(x) = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right). \]
Riscriviamo il limite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}. \]
Manipolando il termine:
\[ \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = 2 \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2} \cdot \frac{(x/2)^2}{x^2}. \]
Sfruttando il limite notevole:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x/2)}{(x/2)} = 1, \]
si ottiene:
\[ \lim_{x \to 0} 2 \cdot 1^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}. \]
Sviluppo di Taylor
Lo sviluppo di Taylor di \( \cos(x) \) è:
\[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
Da cui:
\[ 1 - \cos(x) = \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
Ora sostituiamo nel limite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x^2}. \]
Separando i termini:
\[ \lim_{x \to 0} \left(\frac{x^2}{2x^2} + \frac{O(x^4)}{x^2}\right) = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{2} + O(x^2)\right). \]
Poiché \( O(x^2) \to 0 \) per \( x \to 0 \), il limite risulta:
\[ \frac{1}{2}. \]