In questo articolo daremo la dimostrazione del limite notevole:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1 \]
sfruttando due metodi distinti: il primo si basa sull'interpretazione del limite come definizione di derivata, mentre il secondo sfrutta lo sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale.
Interpretazione come Derivata
Consideriamo la funzione \( f(x)=e^x \). Il rapporto incrementale \[ \frac{e^x-1}{x}=\frac{e^x-e^0}{x-0} \] rappresenta il rapporto incrementale che, al tendere di \( x \) a 0, definisce la derivata di \( f(x) \) in 0: \[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=f'(0). \]
Poiché la derivata della funzione esponenziale è essa stessa \( e^x \), si ha: \[ f'(0)=e^0=1. \]
Pertanto, risulta: \[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]
Sviluppo in Serie di Taylor
In alternativa, consideriamo lo sviluppo in serie di Taylor della funzione \( e^x \) in un intorno del punto \( x=0 \):
\[ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots. \]
Sottraendo \( 1 \) da entrambi i membri, si ottiene:
\[ e^x-1=x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots. \]
Dividendo per \( x \) (con \( x\neq 0 \)): \[ \frac{e^x-1}{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\cdots. \]
Calcolando il limite per \( x \to 0 \), tutti i termini contenenti \( x \) tendono a zero, per cui: \[ \lim_{x \to 0}\left(1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\cdots\right)=1. \]
Entrambi i metodi, basato sulla definizione di derivata e sullo sviluppo in serie di Taylor, conducono al risultato: \[ \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]
Esercizi
Esercizio 1. Calcolare il limite \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{\sin(2x)}. \]
Soluzione. Possiamo riscrivere l'espressione come:
\[ \frac{e^{3x}-1}{\sin(2x)} = \frac{e^{3x}-1}{3x} \cdot \frac{3x}{\sin(2x)} \]
Utilizzando il limite notevole per l'esponenziale:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{e^{3x}-1}{3x} = 1 \]
e sapendo che:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{\sin(2x)}{2x} = 1 \quad\Rightarrow\quad \lim_{x \to 0}\frac{2x}{\sin(2x)} = 1 \]
otteniamo:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{3x}{\sin(2x)} = \lim_{x \to 0}\frac{3x}{2x} \cdot \frac{2x}{\sin(2x)} = \frac{3}{2}\cdot 1 = \frac{3}{2} \]
Pertanto, \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{\sin(2x)} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \]
Esercizio 2. Calcolare il limite \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{e^{2x}-1} \]
Soluzione. Possiamo riscrivere l'espressione come:
\[ \frac{\tan(3x)}{e^{2x}-1} = \frac{\tan(3x)}{3x} \cdot \frac{3x}{2x} \cdot \frac{2x}{e^{2x}-1} \]
Utilizziamo i seguenti limiti notevoli:
\[ \lim_{x \to 0}\frac{\tan(3x)}{3x} = 1 \]
e
\[ \lim_{x \to 0}\frac{e^{2x}-1}{2x} = 1 \quad\Rightarrow\quad \lim_{x \to 0}\frac{2x}{e^{2x}-1} = 1 \]
Inoltre, il termine \(\frac{3x}{2x}\) semplifica a \(\frac{3}{2}\). Pertanto:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{e^{2x}-1} = 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} \]