Il seguente limite mostra che la crescita della funzione esponenziale \( e^x \) è molto più veloce di qualsiasi polinomio \( x^n \). Questo risultato è fondamentale in analisi matematica e viene usato in teoria degli ordini di grandezza e nella complessità computazionale.
Dimostriamo che:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \]
Criterio di De L'Hôpital
Consideriamo la funzione:
\[ f(x) = \frac{x^n}{e^x} \]
Applichiamo il criterio di De L'Hôpital, derivando numeratore e denominatore \( n \) volte:
- Il numeratore, dopo \( n \) derivazioni, diventa \( n! \);
- Il denominatore \( e^x \) resta invariato.
Quindi, abbiamo:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0 \]
Confronto degli ordini di grandezza
Un altro modo di dimostrare il limite è notare che la funzione \( e^x \) può essere scritta come la sua serie di Taylor:
\[ e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \]
Consideriamo i termini fino a \( k = 2n \):
\[ e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^{2n}}{(2n)!} > \frac{x^{2n}}{(2n)!} \]
Quindi:
\[ \frac{x^n}{e^x} < \displaystyle \frac{x^n}{\displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!}} = \frac{(2n)!}{x^n} \]
Poiché \( \displaystyle \frac{(2n)!}{x^n} \to 0 \) per \( x \to \infty \), segue che \( \displaystyle \frac{x^n}{e^x} \to 0 \).
Metodo asintotico
Possiamo anche utilizzare un approccio asintotico. Notiamo che il rapporto tra le due funzioni è:
\[ \frac{x^n}{e^x} = e^{n \ln x - x} \]
Per \( x \) sufficientemente grande, il termine \( n \ln x - x \) diventa negativo e decresce indefinitamente, quindi \( e^{n \ln x - x} \to 0 \), e il limite è dimostrato.