In questa sezione dimostreremo il seguente limite:
\[ \lim_{x \to \infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1 \]
Utilizzeremo due metodi distinti per la dimostrazione: Il Teorema del Confronto, sfruttando disuguaglianze fondamentali del seno e lo sviluppo in serie di Taylor della funzione in un intorno del punto \( x = 0 \).
Dimostrazione con il Teorema del Confronto
Utilizziamo le disuguaglianze fondamentali del seno:
\[ \sin x \leq x \]
Da cui segue che:
\[ \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq \frac{1}{x} \]
Moltiplicando per \( x \):
\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1 \]
Allo stesso modo, possiamo usare la disuguaglianza:
\[ \sin x \geq x - \frac{x^3}{6} \]
Che porta a:
\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \geq 1 - \frac{1}{6x^2} \]
Applicando il Teorema del Confronto e facendo tendere \( x \) all'infinito, otteniamo:
\[ \lim_{x \to \infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1 \]
Dimostrazione con lo Sviluppo in Serie di Taylor
Utilizziamo lo sviluppo di Taylor della funzione seno attorno a zero:
\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \mathcal{O}(x^5) \]
Poniamo \( x = \frac{1}{t} \), quindi per \( x \to \infty \), abbiamo \( t \to 0 \), e sostituiamo:
\[ \sin\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{6x^3} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^5}\right) \]
Moltiplicando per \( x \):
\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = x \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{6x^3} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^5}\right)\right) \]
\[ = 1 - \frac{1}{6x^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^4}\right) \]
Facendo tendere \( x \to \infty \), il termine \( \frac{1}{6x^2} \) tende a zero, quindi:
\[ \lim_{x \to \infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1 \]