Per dimostrare il limite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = 1 \]
utilizzeremo due metodi: lo sviluppo in serie di Taylor e la definizione della derivata. Lo sviluppo in serie ci permetterà di analizzare il comportamento della funzione per valori piccoli di \( x \), mentre la definizione della derivata ci offrirà una conferma alternativa.
Sviluppo in Serie di Taylor
Utilizziamo lo sviluppo in serie di Taylor delle funzioni esponenziali:
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + O(x^4) \]
\[ e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + O(x^4) \]
Sottraendo le due espressioni:
\[ e^x - e^{-x} = 2x + \frac{x^3}{3} + O(x^4) \]
Dividendo per \(2x\):
\[ \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = 1 + \frac{x^2}{6} + O(x^3) \]
Calcolo del Limite
Facendo tendere \(x\) a zero:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = 1 + 0 = 1 \]
Verifica con la Definizione di Derivata
Osserviamo che la funzione nel numeratore è proprio la definizione della derivata della funzione \( f(x) = e^x \) valutata in \( x = 0 \):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} \]
Poiché è noto che \( \lim_{x \to 0} \displaystyle \frac{\sinh x}{x} = 1 \), otteniamo nuovamente il risultato.