Equazione della Retta

Siano \( P_1(x_1,y_1) \) e \( P_2(x_2,y_2) \) due punti distinti nel piano cartesiano. La retta passante per questi due punti ha equazione:

\[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \]

che, moltiplicando entrambi i membri per \( y_2 - y_1 \), diventa:

\[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1). \]

• Similitudine dei triangoli
• Interpretazione geometrica
• Trasformazione nell'equazione esplicita
• Forma esplicita della retta
• Pendenza della retta
• Interpretazione della Pendenza
• Forma Implicita della Retta
• Equazione Parametrica della Retta
• Retta Perpendicolare
• Esercizi

 Per dimostrare l'equazione della retta passante per due punti, consideriamo i punti distinti \( P_1(x_1,y_1) \) e \( P_2(x_2,y_2) \) nel piano cartesiano. Vogliamo mostrare che l'equazione:

\[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \]

è soddisfatta da ogni punto \( P(x,y) \) appartenente alla retta.

Consideriamo i triangoli in figura. Essi sono simili per il criterio dell'angolo in comune (angolo tra la retta e l'asse delle ascisse) e per la proporzionalità dei lati corrispondenti:

\[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \]

Questa relazione segue direttamente dalla proprietà della similitudine dei triangoli, garantendo che il rapporto tra le differenze delle ordinate e delle ascisse rimane costante lungo la retta.

La frazione \( \displaystyle \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \) rappresenta il rapporto tra l'altezza del punto generico \( P \) rispetto a \( P_1 \) e l'altezza totale tra \( P_1 \) e \( P_2 \). Analogamente, \( \displaystyle \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \) misura il rapporto analogo per le ascisse. L'uguaglianza tra questi due rapporti indica che il punto \( P \) è allineato con \( P_1 \) e \( P_2 \), cioè giace sulla retta passante per questi due punti.

Moltiplicando entrambi i membri per \( y_2 - y_1 \), otteniamo:

\[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) \]

che è l'equazione della retta in forma esplicita \( y = mx + q \), con pendenza \( m = \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).

Questa forma dell'equazione è fondamentale per descrivere il legame lineare tra \( x \) e \( y \) per tutti i punti della retta passante per \( P_1 \) e \( P_2 \).

L'equazione della retta passante per due punti distinti \( P_1(x_1, y_1) \) e \( P_2(x_2, y_2) \) può essere espressa in forma esplicita come segue:

\[ y = y_1 + \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1) \]

Questa equazione mette in relazione la variabile \( y \) con la variabile \( x \) lungo la retta. In altre parole, per ogni valore di \( x \) scelto, l'equazione ci consente di determinare il valore corrispondente di \( y \), che è la coordinata del punto sulla retta.

Nel contesto di questa equazione, il termine:

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

rappresenta la pendenza della retta, ovvero il coefficiente angolare. La pendenza è una misura dell'inclinazione della retta rispetto all'asse delle ascisse (l'asse \( x \)). Se la pendenza è positiva, la retta è crescente (sale da sinistra a destra); se è negativa, la retta è decrescente (scende da sinistra a destra).

In altre parole, la pendenza descrive la velocità con cui la retta cresce o decresce in relazione all'asse orizzontale \( x \). La pendenza è un parametro cruciale per determinare l'orientamento della retta nel piano cartesiano.

La pendenza \( m \) di una retta passante per due punti \( P_1(x_1, y_1) \) e \( P_2(x_2, y_2) \) è data dalla formula:

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

La pendenza misura l'inclinazione della retta rispetto all'asse delle ascisse \( x \). A seconda del valore della pendenza, possiamo fare le seguenti osservazioni:

• Se \( m > 0 \), la retta è crescente, ovvero sale da sinistra a destra. Questo significa che per ogni incremento in \( x \), anche \( y \) aumenta. La retta forma un angolo acuto con l'asse \( x \).
• Se \( m < 0 \), la retta è decrescente, ovvero scende da sinistra a destra. In questo caso, per ogni incremento in \( x \), il valore di \( y \) diminuisce. La retta forma un angolo ottuso con l'asse \( x \).
• Se \( x_2 = x_1 \), la pendenza è indefinita, il che implica che la retta è verticale. In questo caso, non esiste un cambiamento orizzontale (la differenza tra le ascisse \( x_2 - x_1 \) è zero), quindi non si può definire una pendenza numerica. La retta è parallela all'asse \( y \) e non ha alcuna inclinazione orizzontale.

In generale, la pendenza \( m \) ci offre informazioni importanti sul comportamento della retta. Se la retta è crescente, il valore di \( y \) aumenta all'aumentare di \( x \); se è decrescente, il valore di \( y \) diminuisce all'aumentare di \( x \); se la retta è verticale, significa che \( y \) non dipende da \( x \) e la retta non ha alcuna inclinazione orizzontale.

Partendo dalla forma esplicita dell'equazione della retta:

\[ y = y_1 + \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) \]

possiamo moltiplicare entrambi i membri per \( x_2 - x_1 \) per ottenere una versione più generale, e riscrivere l'equazione come segue:

\[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) \]

Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per \( (x_2 - x_1) \), otteniamo:

\[ (y - y_1)(x_2 - x_1) = (y_2 - y_1)(x - x_1). \]

Sviluppando i termini, otteniamo:

\[ (x_2 - x_1) y - (x_2 - x_1) y_1 = (y_2 - y_1) x - (y_2 - y_1) x_1 \]

Ora, per ottenere una forma implicita, vogliamo raccogliere i termini in modo che l'equazione risulti in una forma lineare che non espliciti \( y \). Portiamo i termini contenenti \( y \) e \( x \) su un lato e gli altri termini sull'altro:

\[ (y_2 - y_1) x - (x_2 - x_1) y = (y_2 - y_1) x_1 - (x_2 - x_1) y_1 \]

Scriviamo questa equazione nella forma implicita standard:

\[ (y_2 - y_1) x - (x_2 - x_1) y + ((x_2 - x_1) y_1 - (y_2 - y_1) x_1) = 0 \]

Questa è la forma implicita dell'equazione della retta. Se definiamo i coefficienti come \( a = y_2 - y_1 \), \( b = -(x_2 - x_1) \), e \( c = (x_2 - x_1) y_1 - (y_2 - y_1) x_1 \), l'equazione assume la forma generale:

\[ ax + by + c = 0 \]

Alternativamente, se introduciamo la pendenza \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) e riordiniamo i termini nell'equazione precedente, possiamo scrivere:

\[ m(x_2 - x_1)x - (x_2 - x_1)y + ((x_2 - x_1)y_1 - m(x_2 - x_1)x_1) = 0 \]

Semplificando e dividendo per \( (x_2 - x_1) \), otteniamo:

\[ mx - y + (y_1 - mx_1) = 0. \]

In questa forma, i coefficienti sono \( a = m \), \( b = -1 \), e \( c = y_1 - mx_1 \).

La forma implicita \( ax + by + c = 0 \) è una rappresentazione più generale di una retta nel piano cartesiano. Questo formato è utile soprattutto per applicazioni geometriche e algebraiche, dove il valore esplicito di \( y \) non è necessario o dove si desidera lavorare direttamente con le proprietà algebriche della retta.

La retta passante per i punti \( P_1(x_1, y_1) \) e \( P_2(x_2, y_2) \) può essere descritta anche in forma parametrica. In questa rappresentazione, le coordinate \( x \) e \( y \) di un punto sulla retta vengono espresse in funzione di un parametro reale \( t \), che varia lungo la retta.

L'equazione parametrica della retta è data da:

\[ \begin{cases} x = x_1 + (x_2 - x_1)t \\ y = y_1 + (y_2 - y_1)t \end{cases} \]

Qui, \( t \) è il parametro che può assumere qualsiasi valore reale. Quando \( t \) varia, il punto \( (x, y) \) si sposterà lungo la retta che collega i due punti \( P_1 \) e \( P_2 \).

La forma parametrica rappresenta quindi una famiglia di punti sulla retta, in cui il parametro \( t \) definisce univocamente ogni punto della retta. Quando \( t = 0 \), si ottiene il punto \( P_1(x_1, y_1) \); quando \( t = 1 \), si ottiene il punto \( P_2(x_2, y_2) \). I valori di \( t \) tra 0 e 1 descrivono i punti della retta tra \( P_1 \) e \( P_2 \), mentre i valori di \( t \) superiori a 1 o inferiori a 0 estendono la retta oltre questi punti.

La formula parametrica si basa sul concetto di vettore direttore, che è il vettore che collega \( P_1 \) e \( P_2 \). Infatti, la differenza \( (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \) è il vettore direttore della retta, e il parametro \( t \) è il fattore di scala che consente di spostarsi lungo la retta.

In forma vettoriale, l'equazione parametrica può essere scritta come:

\[ \vec{r}(t) = \vec{P_1} + t \cdot (\vec{P_2} - \vec{P_1}), \]

dove \( \vec{r}(t) \) rappresenta la posizione di un punto generico sulla retta al tempo \( t \), e \( \vec{P_1} \) e \( \vec{P_2} \) sono i vettori posizione dei punti \( P_1 \) e \( P_2 \), rispettivamente.

La forma parametrica è particolarmente utile in vari ambiti della geometria analitica, come nello studio delle curve, nelle applicazioni di grafica computerizzata, o in fisica per descrivere il moto di un oggetto lungo una traiettoria rettilinea.

Quando due rette sono perpendicolari, la loro pendenza è legata da una relazione ben precisa. Se una retta ha pendenza \( m \), la pendenza della retta perpendicolare ad essa è data da:

\[ m_\perp = -\frac{1}{m}. \]

Questa formula esprime il fatto che il prodotto delle pendenze di due rette perpendicolari è uguale a \(-1\). La ragione di questa relazione può essere vista nel fatto che gli angoli formati dalle due rette devono essere di 90° (un angolo retto), e quindi la tangente dell'angolo tra le rette deve soddisfare questa condizione.

Per trovare l'equazione della retta perpendicolare che passa per un punto \( (x_1, y_1) \), possiamo usare la forma punto-pendenza. La pendenza della retta perpendicolare è \( -\displaystyle \frac{1}{m} \), quindi l'equazione della retta perpendicolare sarà:

\[ y - y_1 = -\frac{1}{m} (x - x_1). \]

In questa equazione, \( (x_1, y_1) \) è il punto attraverso il quale passa la retta perpendicolare, mentre \( m \) è la pendenza della retta originale. La formula descrive una retta che ha la pendenza opposta e inversa rispetto alla retta originale.

Se la retta originale è rappresentata dall'equazione \( y = mx + q \), la retta perpendicolare avrà la pendenza \( m_\perp = -\displaystyle \frac{1}{m} \) e sarà scritta nella forma \( y - y_1 = -\displaystyle \frac{1}{m} (x - x_1) \), dove \( (x_1, y_1) \) è il punto di intersezione tra la retta originale e la retta perpendicolare.

Questa proprietà delle rette perpendicolari è fondamentale in molti ambiti della geometria, della trigonometria e della fisica, in particolare quando si studiano angoli e traiettorie perpendicolari tra loro.

Esercizio 1: Determina l'equazione della retta passante per \( A(1, 2) \) e \( B(3, 6) \).

Soluzione:

1. Calcoliamo la pendenza della retta: \[ m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2. \]
2. Utilizziamo l'equazione punto-pendenza per determinare l'equazione della retta che passa per \( A(1, 2) \) e ha pendenza \( m = 2 \): \[ y - 2 = 2(x - 1). \]
3. Sviluppando l'equazione: \[ y - 2 = 2x - 2. \]
4. Semplificando: \[ y = 2x - 2 + 2 = 2x. \]

Quindi, l'equazione della retta passante per i punti \( A(1, 2) \) e \( B(3, 6) \) è \[ y = 2x. \]

Verifica: Possiamo verificare che entrambi i punti soddisfano questa equazione:

• Per \( A(1, 2) \): \[ 2 = 2 \cdot 1 = 2 \]
• Per \( B(3, 6) \): \[ 6 = 2 \cdot 3 = 6 \]

Esercizio 2: Scrivi l'equazione parametrica della retta passante per \( A(1, 2) \) e \( B(3, 6) \).

Soluzione:

1. Calcoliamo il vettore direttore \( \boldsymbol{v} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \), che rappresenta la direzione della retta: \[ \boldsymbol{v} = (3 - 1, 6 - 2) = (2, 4). \]
2. Le equazioni parametriche della retta sono: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 4t \end{cases} \quad \text{con} \quad t \in \mathbb{R}. \]