In questa pagina dimostreremo il seguente limite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1 \]
Esploreremo tre metodi distinti per ottenere questo risultato. In particolare sfrutteremo la definizione del seno iperbolico e un limite fondamentale dell'esponenziale, utilizzeremo il Teorema di De L'Hôpital ed infine utilizzeremo gli sviluppi in serie di Taylor.
- Dimostrazione mediante definizione e i limite notevoli
- Dimostrazione con il teorema di De L'Hôpital
- Dimostrazione con lo sviluppo in serie di Taylor
Dimostrazione mediante definizione e i limite notevoli
Il seno iperbolico è definito come:
\[ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \]
Dividendo per \( x \):
\[ \frac{\sinh x}{x} = \frac{e^x - e^{-x}}{2x} \]
Possiamo riscrivere il numeratore come:
\[ e^x - e^{-x} = e^x - \frac{1}{e^x} \]
Moltiplicando numeratore e denominatore per \( e^x \):
\[ \frac{e^{2x} - 1}{2x e^x} \]
Usiamo il limite fondamentale:
\[ \lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1}{y} = 1, \quad \text{con } y = 2x \]
Otteniamo:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{2x e^x} = \frac{1}{e^0} = 1 \]
Dimostrazione con il teorema di De L'Hôpital
Osserviamo che il limite presenta una forma indeterminata \( \frac{0}{0} \), quindi possiamo applicare De L'Hôpital.
Deriviamo numeratore e denominatore:
\[ \frac{d}{dx} (e^x - e^{-x}) = e^x + e^{-x}, \quad \frac{d}{dx} (2x) = 2 \]
Quindi:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 \]
Dimostrazione con lo sviluppo in serie di Taylor
Espandiamo le funzioni esponenziali in serie di Taylor attorno a \( x = 0 \):
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + O(x^4) \] \[ e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + O(x^4) \]
Facendo la differenza:
\[ e^x - e^{-x} = 2x + \frac{2x^3}{3!} + O(x^5) \]
Dividendo tutto per 2:
\[ \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + O(x^5) \]
Dividendo per \( x \):
\[ \frac{\sinh x}{x} = 1 + \frac{x^2}{3!} + O(x^4) \]
Passando al limite per \( x \to 0 \), tutti i termini con \( x \) si annullano e otteniamo:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1 \]