La proiezione di un punto su una retta rappresenta uno dei concetti fondamentali della geometria analitica. Dato un punto \(P(x_0, y_0)\) e una retta \(r: ax + by + c = 0\), la proiezione ortogonale di \(P\) su \(r\) è quel punto \(H\) della retta che realizza la minima distanza euclidea da \(P\). Geometricamente, \(H\) è il piede della perpendicolare condotta da \(P\) alla retta \(r\).
Indice
- Definizione
- Dimostrazione della distanza punto–retta nel piano
- Vettore normale e retta perpendicolare
- Coordinate del piede della perpendicolare
- Metodo Alternativo: Proiezione Vettoriale
- Esercizi sulla Distanza Punto-Retta
Definizione
Definizione. La proiezione ortogonale del punto \(P(x_0, y_0)\) sulla retta \(r: ax + by + c = 0\) è l'unico punto \(H \in r\) tale che il vettore \(\overrightarrow{PH}\) sia parallelo al vettore normale \(\vec{n} = (a, b)\).
Questa caratterizzazione è equivalente a richiedere che \(H\) minimizzi la distanza euclidea \(|PQ|\) per tutti i punti \(Q \in r\).
Dimostrazione della distanza punto–retta nel piano
Sia un punto \( P(x_0, y_0) \) e una retta \( r: ax + by + c = 0 \). Vogliamo calcolare la distanza tra il punto e la retta, ovvero:
\[ d(P, r) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Vettore normale e retta perpendicolare
La retta \( r \) ha come vettore normale \( \vec{n} = (a, b) \). Consideriamo la retta perpendicolare a \( r \) che passa per il punto \( P(x_0, y_0) \). Le sue equazioni parametriche sono:
\[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \]
Ora, Imponiamo che il punto della retta perpendicolare appartenga a \( r \). Sostituendo nella sua equazione:
\[ a(x_0 + at) + b(y_0 + bt) + c = 0 \]
\[ ax_0 + a^2t + by_0 + b^2t + c = 0 \Rightarrow (a^2 + b^2)t + (ax_0 + by_0 + c) = 0 \]
\[ t = -\frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} \]
Coordinate del piede della perpendicolare
Sostituendo \( t \) nelle equazioni parametriche, otteniamo le coordinate del punto \( H \):
\[ x_H = x_0 - a \cdot \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} \quad y_H = y_0 - b \cdot \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} \]
La distanza tra \( P \) e \( H \) è data da:
\[ d = \sqrt{(x_0 - x_H)^2 + (y_0 - y_H)^2} \]
Osserviamo che:
\[ x_0 - x_H = \frac{a(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2}, \quad y_0 - y_H = \frac{b(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2} \]
Quindi:
\[ d = \sqrt{ \left( \frac{a(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2} \right)^2 + \left( \frac{b(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2} \right)^2 } \]
\[ = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Abbiamo dimostrato la formula della distanza tra un punto e una retta:
\[ d(P, r) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Metodo Alternativo: Proiezione Vettoriale
Consideriamo un punto \( P(x_0, y_0) \) e una retta \( r: ax + by + c = 0 \). Sia \( Q(x_1, y_1) \) un punto qualsiasi della retta (ad esempio, ottenuto risolvendo \( r \) rispetto a \( y \)). Il vettore che unisce \( P \) e \( Q \) è:
\[ \vec{PQ} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0) \]
Sia \( \vec{n} = (a, b) \) il vettore normale alla retta. La distanza tra il punto \( P \) e la retta \( r \) è data dal modulo della proiezione del vettore \( \vec{PQ} \) sul vettore normale unitario:
\[ d = \left| \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{\|\vec{n}\|} \right| \]
Sviluppiamo il prodotto scalare:
\[ \vec{PQ} \cdot \vec{n} = a(x_1 - x_0) + b(y_1 - y_0) = ax_1 + by_1 - ax_0 - by_0 \]
Poiché \( Q \in r \), allora \( ax_1 + by_1 + c = 0 \), cioè \( ax_1 + by_1 = -c \). Otteniamo:
\[ \vec{PQ} \cdot \vec{n} = -c - ax_0 - by_0 = -(ax_0 + by_0 + c) \]
Infine:
\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
che coincide con la formula ottenuta per via geometrica.
Esercizi sulla Distanza Punto-Retta
Formula della distanza
Per una retta in forma generale \(ax + by + c = 0\) e un punto \(P(x_0, y_0)\), la distanza è:
\[d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]
Esercizio 1. Calcola la distanza del punto \(P(3, -2)\) dalla retta \(r: 4x - 3y + 1 = 0\).
Soluzione. Dati:
- Punto: \(P(3, -2)\), quindi \(x_0 = 3\) e \(y_0 = -2\)
- Retta: \(4x - 3y + 1 = 0\), quindi \(a = 4\), \(b = -3\), \(c = 1\)
Applicando la formula:
\[d = \frac{|4 \cdot 3 + (-3) \cdot (-2) + 1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}\]
\[d = \frac{|12 + 6 + 1|}{\sqrt{16 + 9}}\]
\[d = \frac{|19|}{\sqrt{25}}\]
\[d = \frac{19}{5}\]
Esercizio 2. Determina la distanza del punto \(A(-1, 5)\) dalla retta \(s: 2x + y - 7 = 0\).
Soluzione: Dati:
- Punto: \(A(-1, 5)\), quindi \(x_0 = -1\) e \(y_0 = 5\)
- Retta: \(2x + y - 7 = 0\), quindi \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -7\)
Applicando la formula:
\[d = \frac{|2 \cdot (-1) + 1 \cdot 5 + (-7)|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}\]
\[d = \frac{|-2 + 5 - 7|}{\sqrt{4 + 1}}\]
\[d = \frac{|-4|}{\sqrt{5}}\]
\[d = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}\]
Esercizio 3. Trova la distanza del punto \(B(0, 4)\) dalla retta \(t: x - 2y + 3 = 0\).
Soluzione: Dati:
- Punto: \(B(0, 4)\), quindi \(x_0 = 0\) e \(y_0 = 4\)
- Retta: \(x - 2y + 3 = 0\), quindi \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 3\)
Applicando la formula:
\[d = \frac{|1 \cdot 0 + (-2) \cdot 4 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}\]
\[d = \frac{|0 - 8 + 3|}{\sqrt{1 + 4}}\]
\[d = \frac{|-5|}{\sqrt{5}}\]
\[d = \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}\]
Esercizio 4. Calcola la distanza del punto \(C(2, -3)\) dalla retta \(u: 3x + 4y - 12 = 0\).
Soluzione: Dati:
- Punto: \(C(2, -3)\), quindi \(x_0 = 2\) e \(y_0 = -3\)
- Retta: \(3x + 4y - 12 = 0\), quindi \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = -12\)
Applicando la formula:
\[d = \frac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot (-3) + (-12)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\]
\[d = \frac{|6 - 12 - 12|}{\sqrt{9 + 16}}\]
\[d = \frac{|-18|}{\sqrt{25}}\]
\[d = \frac{18}{5}\]
Esercizio 5. Determina la distanza del punto \(D(-4, 1)\) dalla retta \(v: 5x - 12y + 8 = 0\).
Soluzione: Dati:
- Punto: \(D(-4, 1)\), quindi \(x_0 = -4\) e \(y_0 = 1\)
- Retta: \(5x - 12y + 8 = 0\), quindi \(a = 5\), \(b = -12\), \(c = 8\)
Applicando la formula:
\[d = \frac{|5 \cdot (-4) + (-12) \cdot 1 + 8|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}}\]
\[d = \frac{|-20 - 12 + 8|}{\sqrt{25 + 144}}\]
\[d = \frac{|-24|}{\sqrt{169}}\]
\[d = \frac{24}{13}\]