Il teorema della permanenza del segno per le successioni afferma che se una successione reale \( a_n \) tende a un limite \( L \neq 0 \), esiste un indice \( N \) oltre il quale tutti i termini della successione hanno lo stesso segno di \( L \). In altre parole:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L > 0 \, \implies \, \exists N \in \mathbb{N} \, : \, \forall n \geq N \, , \, a_n > 0 \]
Se invece \( L < 0 \), allora:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L < 0 \, \implies \, \exists N \in \mathbb{N} \, : \, \forall n \geq N \, , \, a_n < 0 \]
Per definizione, il limite di \( a_n \) è \( L \) se e solo se:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L \, \iff \, \exists N \in \mathbb{N} \, : \, \forall n \geq N \, , \, |a_n - L| < \epsilon \]
In particolare, scegliendo \( \epsilon = \displaystyle \frac{|L|}{2} \), otteniamo la disuguaglianza:
\[ L - \frac{|L|}{2} < a_n < L + \frac{|L|}{2} \]
Ora, osserviamo i seguenti casi:
- Se \( L > 0 \), allora:
\[ \frac{|L|}{2} < a_n < \frac{3|L|}{2} \quad \forall n \geq N \]
- Se \( L < 0 \), cioè \( L = -|L| \), allora:
\[ -\frac{3|L|}{2} < a_n < -\frac{|L|}{2} \quad \forall n \geq N \]
In entrambi i casi, per \( n \geq N \), i termini della successione \( a_n \) avranno lo stesso segno di \( L \).
Esercizio 1: Considera la successione \( \displaystyle a_n = \frac{1}{n} \). Calcoliamo il limite di \( a_n \) per \( n \to \infty \):
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \]
Sebbene la successione tenda a 0, non possiamo applicare il teorema della permanenza del segno in quanto il limite è zero.
Esercizio 2: Considera la successione \( \displaystyle a_n = \frac{3}{n} - 2 \). Calcoliamo il limite di \( a_n \) per \( n \to \infty \):
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} - 2 \right) = -2 \]
Scegliamo \( \epsilon = 1 \). Dobbiamo trovare un indice \( N \) tale che per ogni \( n \geq N \), \( |a_n + 2| < 1 \). In questo caso, \( \displaystyle |a_n + 2| = \left| \frac{3}{n} \right| \).
Vogliamo che \( \displaystyle \frac{3}{n} < 1 \), che è soddisfatto per \( n > 3 \). Pertanto, per ogni \( n \geq 3 \), \( a_n \) è negativo e tende a \( -2 \), mantenendo il segno negativo per tutti gli \( n \geq 3 \).
Esercizio 3: Considera la successione \( \displaystyle a_n = \frac{5}{n} + 1 \). Calcoliamo il limite di \( a_n \) per \( n \to \infty \):
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{5}{n} + 1 \right) = 1 \]
Scegliamo \( \displaystyle \epsilon = \frac{1}{2} \). Dobbiamo trovare un indice \( N \) tale che per ogni \( n \geq N \) si ha
\[ |a_n - 1| < \frac{1}{2} \]
In questo caso, \( |a_n - 1| = \displaystyle \left| \frac{5}{n} \right| \).
Vogliamo che \( \displaystyle \frac{5}{n} < \frac{1}{2} \), che è soddisfatto per \( n > 10 \). Pertanto, per ogni \( n \geq 10 \), \( a_n \) è positivo e tende a \( 1 \), mantenendo il segno positivo per tutti gli \( n \geq 10 \).