In questa pagina vedremo come calcolare la derivata della funzione esponenziale utilizzando due forme equivalenti per esprimere il rapporto incrementale: per \( h \to 0 \) e per \( x \to x_0 \). Formalmente, come:
\[ \lim_{h \to 0}\frac{a^{x + h} - a^x}{h} \quad , \quad \lim_{x \to x_0}\frac{a^x - a^{x_0}}{x - x_0} \]
Indice
- Limite del rapporto incrementale per \( h \to 0 \)
- Limite del rapporto incrementale per \( x \to x_0 \)
Limite del rapporto incrementale per \( h \to 0 \)
Calcoliamo la derivata della funzione esponenziale \(f(x) = a^x\) come limite del rapporto incrementale:
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x_0 + h} - a^{x_0}}{h} \]
Riscriviamo il termine \( a^{x_0 + h} = a^{x_0} \cdot a^h \), quindi:
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x_0} \cdot a^h - a^{x_0}}{h} \]
Ora possiamo estrarre \( a^{x_0} \) dal numeratore:
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} \]
Il limite che rimane è il seguente:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \ln(a) \]
Pertanto, la derivata della funzione esponenziale è:
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \ln(a) \]
Limite del rapporto incrementale per \( x \to x_0 \)
Applichiamo la definizione di derivata alla funzione \(f(x) = a^x\), ottenendo:
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{a^x - a^{x_0}}{x - x_0} \]
Riscriviamo \( a^x = a^{x_0} \cdot a^{x - x_0} \), quindi:
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{x \to x_0} \frac{a^{x - x_0} - 1}{x - x_0} \]
Introduciamo una variabile ausiliaria \( u = x - x_0 \) (anche se non è necessario), in quanto per \( x \to x_0 \), \( x - x_0 \to 0 \). In questo modo, il limite diventa:
\[ L = \lim_{x \to x_0} \frac{a^{x - x_0} - 1}{x - x_0} = \lim_{u \to 0} \frac{a^u - 1}{u} = \ln(a) \]
Il valore di \( L \) è il logaritmo naturale della base \( a \), ovvero \( \ln(a) \). Pertanto, la derivata della funzione esponenziale è:
\[ f'(x) = a^x \cdot \ln(a) \quad , \quad \forall x \in \mathbb{R} \]