In questa pagina vedremo come calcolare la derivata della funzione potenza utilizzando due forme equivalenti per esprimere il rapporto incrementale: per \( h \to 0 \) e per \( x \to x_0 \). Formalmente, come:
\[ \lim_{h \to 0}\frac{(x + h)^n - x^n}{h} \quad , \quad \lim_{x \to x_0}\frac{x^n - x_0^n}{x - x_0} \]
Indice
- Limite del rapporto incrementale per \( h \to 0 \)
- Limite del rapporto incrementale per \( x \to x_0 \)
Limite del rapporto incrementale per \( h \to 0 \)
Vogliamo calcolare la derivata della funzione \( f(x) = x^n \) usando la definizione del rapporto incrementale:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
Sostituendo \( f(x) = x^n \):
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} \]
Utilizziamo lo sviluppo binomiale:
\[ (x+h)^n = x^n + n x^{n-1} h + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h^2 + \dots + h^n \]
Sostituendo:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^n + n x^{n-1} h + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h^2 + \dots + h^n - x^n}{h} \]
Semplificando:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{n x^{n-1} h + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h^2 + \dots + h^n}{h} \]
Dividendo tutto per \( h \):
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( n x^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} x^{n-3} h^2 + \dots + h^{n-1} \right) \]
Facendo tendere \( h \) a \( 0 \), tutti i termini con \( h \) si annullano:
\[ f'(x) = n x^{n-1} \]
Concludiamo quindi che:
\[ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}, \quad \forall x \in \mathbb{R} \]
Limite del rapporto incrementale per \( x \to x_0 \)
Calcoliamo la derivata della funzione potenza ( \( f(x) = x^n \) ) come limite del rapporto incrementale:
\begin{align} f'(x_0) &= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \frac{x^n - x_0^n}{x - x_0}\end{align}
Il numeratore del rapporto incrementale è differenza di potenze \( x^n - x_0^n \):
\[ x^n - x_0^n = (x - x_0)(x^{n-1} + x^{n-2} x_0 + \cdots + x_0^{n-1}) \]
Sostituendo nell'espressione della derivata e semplificando:
\begin{align} f'(x_0) &= \lim_{x \to x_0} \frac{(x - x_0)(x^{n-1} + x^{n-2} x_0 + \cdots + x_0^{n-1})}{x - x_0} \\ &= \lim_{x \to x_0} \left(x^{n-1} + x^{n-2} x_0 + \cdots + x_0^{n-1}\right) \end{align}
Quando \( x \to x_0 \), tutti i termini sono valutati in \( x_0 \):
\[ f'(x_0) = n x_0^{n-1} \]
Quindi, la derivata della funzione \( f(x) = x^n \) è:
\[ f'(x) = n x^{n-1} \qquad \forall x \in \mathbb{ R } \]