Le operazioni sui limiti sono di fondamentale importanza perché ci permettono di calcolare il limite di una somma, di un prodotto o di un quoziente deducendolo direttamente dai limiti delle singole successioni. Queste regole semplificano notevolmente i calcoli, consentendo di analizzare il comportamento di funzioni complesse senza dover ricorrere a metodi più elaborati.
Indice
Limite della Somma
Siano \(\{a_n\}\) e \(\{b_n\}\) due successioni. Se:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = A \quad \text{e} \quad \lim_{n \to \infty} b_n = B, \]
allora:
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B. \]
Dimostrazione. Per dimostrare questo teorema, utilizziamo la definizione di limite per le successioni. Secondo la definizione, \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\) significa che per ogni \(\epsilon > 0\), esiste un numero naturale \(N_1\) tale che:
\[ |a_n - A| < \epsilon \quad \text{per ogni} \ n \geq N_1. \]
Analogamente, \(\lim_{n \to \infty} b_n = B\) significa che per ogni \(\epsilon > 0\), esiste un numero naturale \(N_2\) tale che:
\[ |b_n - B| < \epsilon \quad \text{per ogni} \ n \geq N_2. \]
Ora, dobbiamo dimostrare che:
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B. \]
Per dimostrare che \(\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B\), dobbiamo mostrare che per ogni \(\epsilon > 0\), esiste un numero naturale \(N\) tale che:
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| < \epsilon \quad \text{per ogni} \ n \geq N. \]
Si ha:
\begin{align} |(a_n + b_n) - (A + B)| &= |(a_n + b_n) - (A + B)| \\ &= |(a_n - A) + (b_n - B)| \end{align}
La disuguaglianza triangolare ci assicura che:
\[ |(a_n - A) + (b_n - B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B| \]
Ora, per ogni \(\epsilon > 0\), dato che \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\), esiste un numero naturale \(N_1\) tale che:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{per ogni} \ n \geq N_1. \]
Analogamente, dato che \(\lim_{n \to \infty} b_n = B\), esiste un numero naturale \(N_2\) tale che:
\[ |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{per ogni} \ n \geq N_2. \]
Se scegliamo \( N = \max(N_1, N_2) \), abbiamo che per ogni \(n \geq N\) valgono le disuguaglianze:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{e} \quad |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} \]
Ora, per ogni \(n \geq N\):
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B| \]
Poiché:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{e} \quad |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} \]
abbiamo:
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| \leq |a_n - A| + |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \]
Quindi, per ogni \(\epsilon > 0\), esiste un \(N\) tale che per ogni \(n \geq N\), si ha:
\[ |(a_n + b_n) - (A + B)| < \epsilon \]
Il che dimostra che:
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B \]
Limite del Prodotto
Per dimostrare questo teorema, dobbiamo mostrare che per ogni \(\epsilon > 0\), esiste un numero naturale \(N\) tale che:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| < \epsilon \quad \text{per ogni} \ n \geq N. \]
Dato che \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\), per ogni \(\epsilon > 0\), esiste un numero naturale \(N_1\) tale che:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \quad \text{per ogni} \ n \geq N_1. \]
Dato che \(\lim_{n \to \infty} b_n = B\), per ogni \(\epsilon > 0\), esiste un numero naturale \(N_2\) tale che:
\[ |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)} \quad \text{per ogni} \ n \geq N_2. \]
Scegliamo \(N\) come il massimo tra \(N_1\) e \(N_2\):
\[ N = \max(N_1, N_2). \]
Per ogni \(n \geq N\), abbiamo sia \(n \geq N_1\) che \(n \geq N_2\). Quindi:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \quad \text{e} \quad |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)}. \]
Consideriamo la differenza:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)|. \]
Possiamo riscrivere questa differenza come:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| = |a_n \cdot b_n - A \cdot B|. \]
Aggiungiamo e sottraiamo \(A \cdot b_n\):
\[ |a_n \cdot b_n - A \cdot B| = |(a_n \cdot b_n - A \cdot b_n) + (A \cdot b_n - A \cdot B)|. \]
Utilizziamo la disuguaglianza triangolare:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| \leq |a_n \cdot b_n - A \cdot b_n| + |A \cdot b_n - A \cdot B|. \]
Scomponiamo i termini:
\[ |a_n \cdot b_n - A \cdot b_n| = |(a_n - A) \cdot b_n|. \]
Poiché:
\[ |a_n - A| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \]
inoltre:
\[ |b_n| \leq |B| + 1 \text{ per } n \geq N, \]
abbiamo:
\[ |(a_n - A) \cdot b_n| \leq |a_n - A| \cdot |b_n| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|B| + 1)} \cdot (|B| + 1) = \frac{\epsilon}{2}. \]
Similmente:
\[ |A \cdot b_n - A \cdot B| = |A \cdot (b_n - B)|. \]
Poiché:
\[ |b_n - B| < \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)}, \]
inoltre:
\[ |A| \leq |A| + 1 \text{ per } n \geq N, \]
abbiamo:
\[ |A \cdot (b_n - B)| \leq |A| \cdot |b_n - B| < (|A| + 1) \cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot (|A| + 1)} = \frac{\epsilon}{2}. \]
Sommiamo le disuguaglianze:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| \leq |(a_n - A) \cdot b_n| + |A \cdot (b_n - B)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon. \]
Quindi, per ogni \(\epsilon > 0\), esiste un \(N\) tale che per ogni \(n \geq N\), si ha:
\[ |(a_n \cdot b_n) - (A \cdot B)| < \epsilon. \]
Il che dimostra che:
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B. \]
Limite del Rapporto
Supponiamo di avere due successioni \(a_n\) e \(b_n\) tali che:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = A \quad \text{e} \quad \lim_{n \to \infty} b_n = B, \]
con \(B \neq 0\). Vogliamo dimostrare che:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]
Questo significa che, per ogni \(\epsilon > 0\), esiste un numero naturale \(N\) tale che, per ogni \(n \geq N\), si ha:
\[ \left| \frac{a_n}{b_n} - \frac{A}{B} \right| < \epsilon. \]
Riscriviamo la differenza come:
\[ \left| \frac{a_n}{b_n} - \frac{A}{B} \right| = \left| \frac{a_n \cdot B - A \cdot b_n}{b_n \cdot B} \right|. \]
Per stimare questa espressione, possiamo utilizzare la disuguaglianza triangolare e riscrivere il numeratore:
\[ |a_n \cdot B - A \cdot b_n| = |(a_n - A) \cdot B + A \cdot (B - b_n)|. \]
Applicando la disuguaglianza triangolare, otteniamo:
\[ |(a_n - A) \cdot B + A \cdot (B - b_n)| \leq |(a_n - A) \cdot B| + |A \cdot (B - b_n)|. \]
Ora dobbiamo stimare separatamente i due termini \( |(a_n - A) \cdot B| \) e \( |A \cdot (B - b_n)| \). Per farlo, possiamo scegliere due quantità \( \delta_1 \) e \( \delta_2 \), tali che:
\[ \delta_1 + \delta_2 = \epsilon. \]
Imponiamo le seguenti condizioni:
\[ |a_n - A| < \delta_1 \quad \text{e} \quad |b_n - B| < \delta_2. \]
Utilizzando queste disuguaglianze, otteniamo per il primo termine:
\[ |(a_n - A) \cdot B| \leq |a_n - A| \cdot |B| < \delta_1 \cdot |B|. \]
Per il secondo termine:
\[ |A \cdot (B - b_n)| \leq |A| \cdot |B - b_n| < |A| \cdot \delta_2. \]
Sommiamo ora i due termini:
\[ |a_n \cdot B - A \cdot b_n| \leq \delta_1 \cdot |B| + \delta_2 \cdot |A|. \]
Infine, dividiamo per \( |b_n \cdot B| \). Poiché per \(n\) sufficientemente grande \( |b_n| \geq \frac{|B|}{2} \), possiamo scrivere:
\[ \frac{|a_n \cdot B - A \cdot b_n|}{|b_n \cdot B|} \leq \frac{\delta_1 \cdot |B| + \delta_2 \cdot |A|}{\frac{|B|^2}{2}}. \]
Semplificando l'espressione, otteniamo:
\[ \frac{2(\delta_1 \cdot |B| + \delta_2 \cdot |A|)}{|B|^2}. \]
Per garantire che l'intera espressione sia minore di \( \epsilon \), possiamo scegliere \( \delta_1 \) e \( \delta_2 \) in modo che soddisfino una relazione proporzionale. Ad esempio, possiamo scegliere:
\[ \delta_1 = \frac{\epsilon}{2} \quad \text{e} \quad \delta_2 = \frac{\epsilon}{2}. \]
In questo modo, garantiamo che:
\[ \left| \frac{a_n}{b_n} - \frac{A}{B} \right| < \epsilon, \]
dimostrando così che:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]