Definizione e Proprietà delle Potenze

Proprietà delle Potenze

Siano $a$ e $b$ numeri reali diversi da zero, e siano $m$ e $n$ numeri interi. Le potenze godono delle seguenti proprietà fondamentali:

Prodotto di potenze con la stessa base:

Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Per definizione:

$$a^m=\underset{m\text{ volte}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}},a^n=\underset{n\text{ volte}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}}$$

Quindi, moltiplicando le due potenze:

$$a^m\cdot a^n=\underset{m\text{ volte}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}}\cdot \underset{n\text{ volte}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}}=\underset{m+n\text{ volte}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}}=a^{m+n}$$

Divisione di potenze con la stessa base:

Il risultato della divisione di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\text{con }a\ne 0$$

Per definizione:

$$\frac{a^m}{a^n}=\frac{\underset{m\text{ volte}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}}}{\underset{n\text{ volte}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}}}=\underset{(m-n)\text{ volte}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}}=a^{m-n}.$$

Potenza di una potenza:

La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti:

$$(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$$

Per definizione:

$$(a^m{)}^n=\underset{n\text{ volte}}{\underbrace{a^m\cdot a^m\cdot \cdots \cdot a^m}}=\underset{m\cdot n\text{ volte}}{\underbrace{(a\cdot a\cdot \cdots \cdot a)}}=a^{m\cdot n}.$$

Prodotto di potenze con basi diverse ma stesso esponente:

La potenza di un prodotto è il prodotto delle potenze dei singoli fattori:

$$(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$$

Per definizione:

$$(a\cdot b{)}^n=\underset{n\text{ volte}}{\underbrace{(a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot \cdots \cdot (a\cdot b)}}=(\underset{n\text{ volte}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}})\cdot (\underset{n\text{ volte}}{\underbrace{b\cdot b\cdot \cdots \cdot b}})=a^n\cdot b^n.$$

Quoziente di potenze con basi diverse ma stesso esponente:

La potenza di un quoziente è il quoziente delle potenze del numeratore e del denominatore:

$${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}\text{con }b\ne 0$$

Per definizione:

$${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\underset{n\text{ volte}}{\underbrace{\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \cdots \cdot \frac{a}{b}}}=\frac{\underset{n\text{ volte}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}}}{\underset{n\text{ volte}}{\underbrace{b\cdot b\cdot \cdots \cdot b}}}=\frac{a^n}{b^n}.$$

Potenza con esponente frazionario:

Per definizione, l’espressione $a^{\frac{n}{m}}$ indica la radice $m$-esima di $a^n$, ovvero:

$$a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}\text{con }a\ge 0,m>0$$

La definizione garantisce che la proprietà generale delle potenze sia rispettata. Ad esempio:

$$a^{\frac{n}{m}}\cdot a^{\frac{p}{q}}=:a^{\frac{n}{m}+\frac{p}{q}}$$

Potenze con esponente negativo:

Un numero elevato a un esponente negativo è uguale al reciproco della potenza con esponente positivo:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\text{con }a\ne 0$$

Quando estendiamo una definizione (in questo caso le potenze) a nuovi casi (come l'esponente zero), vogliamo che le proprietà già valide nei casi noti continuino a valere anche nei nuovi casi.

Per $a\ne 0$ e per esponenti positivi, sappiamo che vale la proprietà fondamentale:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Per mantenere la coerenza con la divisione di potenze, definiamo per $n>0$:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Consideriamo un qualsiasi numero $n$. Per la proprietà delle potenze deve valere:

$$a^n\cdot a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^0$$

Ma sappiamo anche che:

$$a^n\cdot a^{-n}=a^n\cdot \frac{1}{a^n}=1$$

Quindi, per la proprietà transitiva $a^0=1$.

Questa definizione mantiene coerenti tutte le proprietà delle potenze. Per esempio:

$$a^m\cdot a^0=a^m\cdot 1=a^m=a^{m+0}$$

$$\frac{a^m}{a^m}=a^{m-m}=a^0=1$$

La definizione $a^0=1$ non è arbitraria, ma è l'unica che garantisce la coerenza delle regole algebriche delle potenze.

Esercizio 1. Semplifica: $a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4$

Soluzione. Applichiamo la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base, sommando gli esponenti:

$$\begin{array}{rl}{a}^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4& =a^{5+3}\cdot b^{2+4}\\ & =a^8\cdot b^6\end{array}$$

Risultato: $a^8\cdot b^6$.

Esercizio 2. Semplifica $(a^3\cdot b^2{)}^4$.

Soluzione. Applichiamo la proprietà delle potenze al prodotto, elevando ogni fattore al nuovo esponente:

$$\begin{array}{rl}(a^3\cdot b^2{)}^4& =(a^3{)}^4\cdot (b^2{)}^4\\ & =a^{3\cdot 4}\cdot b^{2\cdot 4}\\ & =a^{12}\cdot b^8\end{array}$$

Risultato: $a^{12}\cdot b^8$.

Esercizio 3. Semplifica:

$$\frac{a^6\cdot b^8}{a^2\cdot b^3}$$

Soluzione. Utilizziamo la proprietà della divisione di potenze con la stessa base, sottraendo gli esponenti:

$$\begin{array}{rl}\frac{a^6\cdot b^8}{a^2\cdot b^3}& =\frac{a^6}{a^2}\cdot \frac{b^8}{b^3}\\ & =a^{6-2}\cdot b^{8-3}\\ & =a^4\cdot b^5\end{array}$$

Risultato: $a^4\cdot b^5$.

Esercizio 4. Semplifica:

$${\left(\frac{a^3\cdot b^5}{a\cdot b^2}\right)}^2$$

Soluzione. Iniziamo a semplificare i termini entro le parentesi tonde, poi applichiamo la potenza al risultato:

$$\begin{array}{rl}\frac{a^3\cdot b^5}{a\cdot b^2}& =\frac{a^3}{a}\cdot \frac{b^5}{b^2}\\ & =a^{3-1}\cdot b^{5-2}\\ & =a^2\cdot b^3\end{array}$$

Ora, applichiamo la potenza al risultato semplificato:

$$\begin{array}{rl}{(a^2\cdot b^3)}^2& =(a^2{)}^2\cdot (b^3{)}^2\\ & =a^{2\cdot 2}\cdot b^{3\cdot 2}\\ & =a^4\cdot b^6\end{array}$$

Risultato: $a^4\cdot b^6$.

Esercizio 5. Semplifica:

$$\frac{(a^3\cdot b^2{)}^2\cdot b^4}{a^4\cdot b^5}$$

Soluzione. Iniziamo calcolando la potenza del numeratore:

$$\begin{array}{rl}(a^3\cdot b^2{)}^2& =(a^3{)}^2\cdot (b^2{)}^2\\ & =a^{3\cdot 2}\cdot b^{2\cdot 2}\\ & =a^6\cdot b^4\end{array}$$

Aggiungiamo il termine $b^4$ al numeratore:

$$\begin{array}{rl}{a}^6\cdot b^4\cdot b^4& =a^6\cdot b^{4+4}\\ & =a^6\cdot b^8\end{array}$$

Ora semplifichiamo il quoziente:

$$\begin{array}{rl}\frac{a^6\cdot b^8}{a^4\cdot b^5}& =\frac{a^6}{a^4}\cdot \frac{b^8}{b^5},\\ & =a^{6-4}\cdot b^{8-5},\\ & =a^2\cdot b^3.\end{array}$$

Risultato: $a^2\cdot b^3$.