Per comprendere a fondo le proprietà dei logaritmi, inizieremo dalla loro definizione. Da qui, dimostreremo passo dopo passo le principali regole che permettono di semplificare e manipolare le espressioni logaritmiche. Ogni proprietà sarà accompagnata da un esercizio svolto per mettere in pratica quanto appreso.
Definizione. Dato un numero reale positivo \( x > 0 \) e una base \( b > 0 \) con \( b \neq 1 \), il logaritmo di \( x \) in base \( b \), indicato con \( \log_b(x) \), è l'esponente \( y \) tale che \( b^y = x \). Formalmente:
\[ \log_b(x) = y \iff b^y = x \]
Indice
Identità fondamentale
L'identità fondamentale dei logaritmi ci dice che se calcoliamo \( b^{\log_b(a)} \), otteniamo \( a \). Questa proprietà è essenziale per risolvere equazioni logaritmiche ed esponenziali.
\[ b^{\log_b(a)} = a \quad \text{con} \quad a > 0 \]
Questa è una conseguenza diretta della definizione di logaritmo. Infatti, \( \log_b(a) \) è proprio quell'esponente che, quando \( b \) viene elevato ad esso, dà come risultato \( a \).
Esercizio. Calcola \( 3^{\log_3(81)} \).
Soluzione. Usando la proprietà \( b^{\log_b(a)} = a \), possiamo scrivere:
\[ 3^{\log_3(81)} = 81 \]
Risultato: \( 81 \).
Regola dell'esponente
La regola dell'esponente ci permette di calcolare il logaritmo di una potenza. Questa regola trasforma il logaritmo di una potenza nel prodotto tra l'esponente e il logaritmo della base della potenza.
\[\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \quad \text{con} \quad x > 0 \]
Dimostrazione. Sia \( k = \log_b(x) \). Per definizione di logaritmo, questo significa che \( b^k = x \). Quindi:
\[ \log_b(x^n) = \log_b((b^k)^n) = \log_b(b^{kn}) = kn = n \cdot \log_b(x) \]
Esercizio. Semplifica \( \log_2(32^3) \).
Soluzione. Usiamo la regola \( \log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \):
\[ \log_2(32^3) = 3 \cdot \log_2(32) \]
Poiché \( 32 = 2^5 \), abbiamo:
\[ \log_2(32) = 5 \]
Quindi:
\[ \log_2(32^3) = 3 \cdot 5 = 15 \]
Risultato: \( 15 \).
Regola del prodotto
La regola del prodotto ci dice che il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori. Questa regola è fondamentale per semplificare espressioni con prodotti.
\[\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) \quad \text{con} \quad x, y > 0 \]
Dimostrazione. Siano \( k = \log_b(x) \) e \( h = \log_b(y) \). Per definizione di logaritmo: \( b^k = x \) e \( b^h = y \). Quindi:
\[ x \cdot y = b^k \cdot b^h = b^{k+h} \]
\[ \log_b(x \cdot y) = \log_b(b^{k+h}) = k + h = \log_b(x) + \log_b(y) \]
Esercizio. Calcola \( \log_5(25) + \log_5(4) \) e confronta con \( \log_5(100) \).
Soluzione. Usiamo la regola del prodotto:
\[ \log_5(25) + \log_5(4) = \log_5(25 \cdot 4) \]
Poiché \( 25 \cdot 4 = 100 \), abbiamo:
\[ \log_5(25) + \log_5(4) = \log_5(100) \]
Poiché \( 100 = 5^2 \), segue che:
\[ \log_5(100) = 2 \]
Risultato: \( 2 \).
Regola del rapporto
La regola del rapporto ci dice che il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi. Questa regola è utile per semplificare espressioni con frazioni.
\[\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y) \quad \text{con} \quad x, y > 0 \]
Dimostrazione. Siano \( k = \log_b(x) \) e \( h = \log_b(y) \). Per definizione di logaritmo: \( b^k = x \) e \( b^h = y \). Quindi:
\[ \frac{x}{y} = \frac{b^k}{b^h} = b^{k-h} \]
\[ \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(b^{k-h}) = k - h = \log_b(x) - \log_b(y) \]
Esercizio. Semplifica \( \log_3(81) - \log_3(9) \).
Soluzione. Usiamo la regola del rapporto:
\[ \log_3(81) - \log_3(9) = \log_3\left(\frac{81}{9}\right) \]
Poiché \( \displaystyle\frac{81}{9} = 9 \), abbiamo:
\[ \log_3(81) - \log_3(9) = \log_3(9) \]
Poiché \( 9 = 3^2 \), segue che:
\[ \log_3(9) = 2 \]
Risultato: \( 2 \).
Cambiamento di base
La formula del cambiamento di base ci permette di esprimere un logaritmo in una base qualsiasi usando i logaritmi in un'altra base. È particolarmente utile quando vogliamo usare la calcolatrice, che spesso ha solo i tasti \( \ln \) e \( \log_{10} \).
\[\log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)} \quad \text{con} \quad x, b > 0 \quad , \quad b \neq 1 \quad , \quad c > 0 \quad ,\quad c \neq 1 \]
Esercizio. Scrivi \( \log_2(40) \) usando il logaritmo naturale (\( \ln \)).
Soluzione. Usiamo la formula del cambiamento di base:
\[ \log_2(40) = \frac{\ln(40)}{\ln(2)} \]
Risultato: \( \displaystyle \frac{\ln(40)}{\ln(2)} \).