Le successioni numeriche e i limiti di successioni sono concetti fondamentali in analisi matematica. Comprendere il comportamento di una successione quando \(n \to \pm \infty\) è cruciale per determinare se una successione \( a_n \) è convergente, divergente o irregolare.
Indice
- Definizione di Successione Convergente
- Definizione di Successione Divergente a \(+\infty\)
- Definizione di Successione Divergente a \(-\infty\)
- Definizione di Successione Irregolare
Definizione di Successione Convergente
Una successione \( a_n \) si dice convergente a \( L \) se il valore assoluto della differenza tra \( a_n \) e \( L \) può essere reso arbitrariamente piccolo per \( n \) sufficientemente grande. Intuitivamente, i termini della successione si avvicinano indefinitamente al valore limite \( L \). Più formalmente:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon > 0 \quad \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \,\,:\,\, \forall n \geq n_{\varepsilon} \quad |a_n - L| < \varepsilon \]
Geometricamente, ciò significa che per ogni intervallo \((L - \varepsilon, L + \varepsilon)\) centrato su \(L\), esiste un punto oltre il quale tutti i termini della successione cadono dentro questo intervallo.
Esercizio 1: Dimostrare che \( a_n = \displaystyle \frac{1}{n} \) converge a zero.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \]
Per ogni \( \varepsilon > 0 \), basta scegliere \( n_{\varepsilon} > \displaystyle \frac{1}{\varepsilon} \). Allora per ogni \( n \geq n_{\varepsilon} \), si ha:
\[ \left| \frac{1}{n} \right| < \varepsilon \]
Dunque la successione converge a zero.
Esercizio 2: Dimostrare che \( a_n = \displaystyle \frac{n}{n+1} \) converge a 1.
\[ \left| \frac{n}{n+1} - 1 \right| = \frac{1}{n+1} < \varepsilon \]
Ciò si verifica se \( n > \displaystyle \frac{1}{\varepsilon} - 1 \). Quindi la successione converge a 1.
Definizione di Successione Divergente a \(+\infty\)
Una successione \( a_n \) diverge a \(+\infty\) se i suoi termini diventano arbitrariamente grandi. Formalmente:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = +\infty \iff \forall M > 0 \quad \exists n_M \in \mathbb{N} \,\,:\,\, \forall n \geq n_M \quad a_n > M \]
Esercizio 3: Dimostrare che \( a_n = 2n \) diverge a \(+\infty\).
\[ 2n > M \Rightarrow n > \frac{M}{2} \]
Scelto \( n_M > \displaystyle \frac{M}{2} \), per ogni \( n \geq n_M \) si ha \( a_n = 2n > M \). Quindi la successione diverge a \(+\infty\).
Definizione di Successione Divergente a \(-\infty\)
Una successione \( a_n \) diverge a \(-\infty\) se i suoi termini diventano arbitrariamente negativi. Formalmente:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = -\infty \iff \forall M > 0 \quad \exists n_M \in \mathbb{N} \,\,:\,\, \forall n \geq n_M \quad a_n < -M \]
Esercizio 4: Dimostrare che \( b_n = -3n \) diverge a \(-\infty\).
\[ -3n < -M \Rightarrow n > \frac{M}{3} \]
Scelto \( n_M > \displaystyle \frac{M}{3} \), si ha \( b_n < -M \). Dunque \( \lim_{n \to \infty} b_n = -\infty \).
Esercizio 5: Dimostrare che \( a_n = -\ln(n) \) diverge a \(-\infty\).
\[ -\ln(n) < -M \Rightarrow n > e^M \]
Scelto \( n_M > e^M \), si ha \( a_n = -\ln(n) < -M \). Pertanto la successione diverge a \(-\infty\).
Definizione di Successione Irregolare
Una successione \( a_n \) si dice irregolare se non è né convergente né divergente. I termini oscillano senza tendere a un valore limite.
Esercizio 6: Studiare la successione \( a_n = (-1)^n \).
La successione è limitata, ma non converge. Infatti:
\[ \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n+1} = -1 \]
Due sottosuccessioni hanno limiti diversi, dunque la successione è irregolare.
Esercizio 7: Studiare la successione \( a_n = \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) \).
I valori sono: \( 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \ldots \). La successione è limitata, ma non converge. Infatti:
\[ \lim_{n \to \infty} a_{4n-3} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} a_{4n-2} = 0 \]
Anche qui, due sottosuccessioni hanno limiti diversi. La successione è quindi irregolare.
Questi esempi mostrano che l'essere limitata non implica la convergenza: una successione può oscillare indefinitamente.