Definizione di Funzione (Matematica): Formule, Proprietà ed Esercizi Svolti

Una funzione è una legge tra due insiemi, la quale associa ad ogni elemento del primo insieme (dominio) un unico elemento del secondo insieme (codominio). In questo post, analizzeremo la definizione formale di dominio, codominio, l'immagine e le proprietà principali come iniettività, suriettività e biettività.

Indice

• Definizione di Funzione
• Dominio, Codominio e Immagine
• Esempi di Funzioni
• Proprietà delle Funzioni
• Funzioni Iniettive
• Funzioni Non Iniettive
• Esercizi sulle Funzioni Iniettive
• Funzioni Suriettive
• Funzioni Non Suriettive
• Esercizi sulle Funzioni Suriettive
• Qualche Esempio
• Funzioni Biiettive
• Funzione Inversa
• Esercizi sulle Funzioni Biiettive
• Restrizione di una Funzione
• Esercizi sulla Restrizione di Funzioni

Formalmente, una funzione è una legge (o mappa) che associa a ogni elemento di un insieme \(X\) (denominato dominio) un unico elemento di un altro insieme \(Y\) (denominato codominio). La notazione utilizzata per esprimere una funzione è la seguente:

\[ f: X \to Y \quad , \quad x \mapsto f(x) \]

Oppure:

\[ \begin{align*} f \, : \, & X \longrightarrow Y \\ & x \longmapsto f(x) \end{align*} \]

In tal modo, si afferma che la funzione \(f\) è definita sull'insieme \(X\) e i valori assunti appartengono all'insieme \(Y\). Con il termine \(f(x)\) si intende l'elemento \(y \in Y\) che è associato ad ogni \(x \in X\), con la funzione \(f\) che specifica la legge di corrispondenza tra gli elementi di \(X\) e quelli di \(Y\).

Come accennato precedentemente, il dominio di una funzione \(f\) è l'insieme \(X\) costituito da tutti gli elementi per i quali la funzione è definita. Per esempio, la funzione:

\[ f \, : \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad x \mapsto \frac{1}{x^2+1} \]

è definita su tutta la retta reale. Dunque \( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \). L'immagine è invece l'insieme dei valori assunti dalla funzione, che in questo caso particolare è \( \text{Imm}(f) = (0, 1] \).

Il codominio è l'insieme \(Y\) che contiene tutti i valori che possono essere raggiunti tramite la funzione \(f\), benché non tutti questi valori debbano necessariamente essere effettivamente ottenuti. L'immagine (o range) di una funzione \(f\) è l'insieme degli elementi di \(Y\) che sono effettivamente raggiunti dalla funzione, ed è definita come:

\[ \text{Imm}(f) = f(X) = \{ y \in Y \mid \exists x \in X \, : \, f(x) = y \} \]

Un esempio classico di funzione è la funzione lineare, che rappresenta una retta nel piano cartesiano descritta dall'equazione della retta, e che può essere scritta come:

\[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad f(x) = mx + q \]

dove \(m\) e \(q\) sono costanti reali. Un altro esempio importante è la funzione quadratica, che descrive una parabola e si esprime con:

\[ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad g(x) = ax^2 + bx + c \quad , \quad a \neq 0 \]

Le funzioni possiedono alcune proprietà fondamentali che permettono di caratterizzarle in modo più preciso.

Una funzione \( f: X \to Y \) si dice iniettiva se a valori distinti corrispondono immagini distinte. In altre parole, se due elementi di \( X \) sono distinti, le loro immagini mediante \( f \) sono anch'esse distinte. In termini matematici, la funzione è iniettiva se:

\[ x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2) \]

Un altro modo di dire che una funzione è iniettiva è che, se due elementi sono mappati nello stesso valore, devono essere uguali. Ovvero:

\[ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 \]

Un esempio di funzione iniettiva è la funzione \( f \, : \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita come \( f(x) = x^3 \). Vediamo perché questa funzione è iniettiva:

• Se \( x_1 \neq x_2 \), allora \( x_1^3 \neq x_2^3 \), il che significa che le immagini di \( x_1 \) e \( x_2 \) sono distinte.
• In altre parole, per ogni coppia di valori distinti \( x_1 \) e \( x_2 \) appartenenti a \( \mathbb{R} \), i loro cubi non saranno mai uguali.

Non tutte le funzioni sono iniettive. Una funzione si dice non iniettiva quando esistono almeno due elementi distinti di \( X \) che hanno la stessa immagine in \( Y \). In altre parole, esistono \( x_1 \neq x_2 \) tale che \( f(x_1) = f(x_2) \).

Esempi di funzioni non iniettive includono:

• La funzione quadratica \( f(x) = x^2 \), che non è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Infatti, \( f(2) = f(-2) = 4 \), ma \( 2 \neq -2 \), quindi \( f(x) = x^2 \) non è iniettiva.
• La funzione seno \( f(x) = \sin(x) \), che non è iniettiva su \( \mathbb{R} \), poiché \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), ma \( 0 \neq \pi \), quindi non è iniettiva.

Esercizio 1: Determina se la funzione \( f(x) = 2x + 3 \) è iniettiva.

Soluzione: La funzione è iniettiva se, per ogni coppia di valori distinti \( x_1 \) e \( x_2 \), le immagini \( f(x_1) \) e \( f(x_2) \) sono distinte. Supponiamo che \( f(x_1) = f(x_2) \), cioè:

\[ 2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \]

Sottraendo 3 da entrambi i membri otteniamo:

\[ 2x_1 = 2x_2 \]

Dividendo per 2:

\[ x_1 = x_2 \]

Poiché \( x_1 = x_2 \), la funzione è iniettiva.

Esercizio 2: Determina se la funzione \( f(x) = x^2 \) è iniettiva su \( \mathbb{R} \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = x^2 \) non è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Infatti, consideriamo i valori \( x_1 = -2 \) e \( x_2 = 2 \). Entrambi soddisfano \( f(x_1) = f(x_2) \), ovvero:

\[ (-2)^2 = 2^2 = 4 \]

Ma \( -2 \neq 2 \), quindi la funzione non è iniettiva. La funzione è iniettiva solo se definita su \( \mathbb{R}^+ \) o \( \mathbb{R}^- \), poiché in questi domini ogni numero ha un unico quadrato positivo.

Esercizio 3: Verifica se la funzione \( f(x) = \sin(x) \) è iniettiva su \( \mathbb{R} \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = \sin(x) \) non è iniettiva su \( \mathbb{R} \), poiché esistono più valori di \( x \) che danno lo stesso risultato. Ad esempio, \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), ma \( 0 \neq \pi \). Quindi la funzione non è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Se limitassimo il dominio della funzione, per esempio a \( \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] \), la funzione sarebbe iniettiva.

Esercizio 4: Determina se la funzione \( f(x) = \ln(x) \) è iniettiva sul dominio \( (0, \infty) \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = \ln(x) \) è iniettiva sul dominio \( (0, \infty) \), poiché, se \( \ln(x_1) = \ln(x_2) \), allora necessariamente \( x_1 = x_2 \). Questo è vero per tutti i valori di \( x_1 \) e \( x_2 \) appartenenti al dominio \( (0, \infty) \).

Esercizio 5: Verifica se la funzione \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) è iniettiva su \( \mathbb{R}^* \) (tutti i reali tranne 0).

Soluzione: La funzione \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) è iniettiva su \( \mathbb{R}^* \), perché se \( \displaystyle \frac{1}{x_1} = \displaystyle \frac{1}{x_2} \), allora \( x_1 = x_2 \), dato che i numeri non possono essere uguali a meno che le frazioni non lo siano.

Una funzione \( f: X \to Y \) è suriettiva se, per ogni \( y \in Y \), esiste almeno un \( x \in X \) tale che:

\[ f(x) = y \]

In altre parole, una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio \( Y \) è l'immagine di almeno un elemento di \( X \).

Un esempio di funzione suriettiva è la funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definita come \( f(x) = x^3 \). Vediamo perché questa funzione è suriettiva:

• Per ogni \( y \in \mathbb{R} \), esiste un \( x \in \mathbb{R} \) tale che \( x^3 = y \). Ad esempio, se \( y = 8 \), allora \( x = 2 \) poiché \( 2^3 = 8 \).
• In generale, per ogni valore di \( y \), esiste un valore \( x \) che soddisfa \( x^3 = y \), quindi la funzione è suriettiva.

Una funzione si dice non suriettiva se esiste almeno un elemento \( y \in Y \) che non è immagine di alcun elemento \( x \in X \). In altre parole, esistono valori nel codominio \( Y \) che non sono immagine di nessun elemento nel dominio \( X \).

Esempi di funzioni non suriettive includono:

• La funzione \( f(x) = x^2 \) definita su \( \mathbb{R} \). Il codominio di questa funzione è \( \mathbb{R}^+ \) (i numeri reali non negativi), quindi non ci sono valori di \( x \) che diano risultati negativi. Ad esempio, non esiste alcun \( x \) tale che \( f(x) = -1 \), quindi la funzione non è suriettiva su \( \mathbb{R} \).
• La funzione \( f(x) = \sin(x) \), definita su \( \mathbb{R} \), ha come codominio l'intervallo \( [-1, 1] \). Quindi, per esempio, non esiste alcun valore di \( x \) che possa dare \( f(x) = 2 \), pertanto la funzione non è suriettiva su \( \mathbb{R} \).

Esercizio 1: Determina se la funzione \( f(x) = 2x + 3 \) è suriettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).

Soluzione: La funzione è suriettiva se per ogni \( y \in \mathbb{R} \), esiste un \( x \in \mathbb{R} \) tale che \( f(x) = y \). Supponiamo di avere \( y \in \mathbb{R} \). Risolvendo l'equazione \( f(x) = 2x + 3 = y \), otteniamo:

\[ 2x = y - 3 \]

\[ x = \frac{y - 3}{2} \]

Poiché \( x \) esiste per ogni \( y \in \mathbb{R} \), la funzione è suriettiva.

Esercizio 2: Determina se la funzione \( f(x) = x^2 \) è suriettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = x^2 \) non è suriettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \), perché non esistono valori di \( x \) tali che \( f(x) = -1 \) (poiché il quadrato di un numero reale è sempre non negativo). Il codominio di questa funzione è \( \mathbb{R}^+ \), quindi non è suriettiva su \( \mathbb{R} \).

Esercizio 3: Verifica se la funzione \( f(x) = \sin(x) \) è suriettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = \sin(x) \) non è suriettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \), perché il valore di \( \sin(x) \) è limitato all'intervallo \( [-1, 1] \). Quindi non esistono valori di \( x \) che possano dare \( \sin(x) = 2 \), pertanto non è suriettiva su \( \mathbb{R} \).

Esercizio 4: Determina se la funzione \( f(x) = \ln(x) \) è suriettiva su \( \mathbb{R} \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = \ln(x) \) è suriettiva da \( (0, \infty) \) a \( \mathbb{R} \), poiché per ogni \( y \in \mathbb{R} \), esiste un \( x \in (0, \infty) \) tale che \( \ln(x) = y \). Infatti, se \( y \in \mathbb{R} \), possiamo trovare \( x = e^y \) tale che \( \ln(x) = y \).

Esercizio 5: Verifica se la funzione \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) è suriettiva su \( \mathbb{R}^* \) (tutti i reali tranne 0) da \( \mathbb{R}^* \) a \( \mathbb{R}^* \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) è suriettiva su \( \mathbb{R}^* \), poiché per ogni \( y \in \mathbb{R}^* \), esiste un \( x \in \mathbb{R}^* \) tale che \( \displaystyle \frac{1}{x} = y \). Infatti, se \( y \in \mathbb{R}^* \), possiamo trovare \( x = \displaystyle \frac{1}{y} \) tale che \( f(x) = y \).

Una funzione \( f \) si dice biettiva se è sia iniettiva che suriettiva. In tale caso, \( f \) stabilisce una corrispondenza biunivoca tra gli elementi del dominio e quelli del codominio, e ammette una funzione inversa:

\[ f^{-1}: Y \to X \]

Tale inversa soddisfa la relazione:

\[ f^{-1}(y) = x \quad \text{dove} \quad f(x) = y \]

La funzione inversa \( f^{-1} \) è definita per ogni \( y \in Y \), ed è sia una funzione inversa destra che sinistra, poiché per ogni \( y \in Y \) soddisfa le seguenti identità:

\[ f(f^{-1}(y)) = y \quad \text{e} \quad f^{-1}(f(x)) = x \]

Esempio di Funzione Biiettiva

Consideriamo la funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita come \( f(x) = 2x + 1 \). Verifichiamo che questa funzione è biiettiva:

• La funzione è iniettiva: supponiamo che \( f(x_1) = f(x_2) \), cioè \( 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \). Risolvendo, otteniamo \( x_1 = x_2 \), quindi la funzione è iniettiva.
• La funzione è suriettiva: per ogni \( y \in \mathbb{R} \), possiamo risolvere l'equazione \( 2x + 1 = y \), ottenendo \( x = \displaystyle \frac{y - 1}{2} \), che è un valore reale per ogni \( y \in \mathbb{R} \). Quindi, la funzione è suriettiva.
• Poiché la funzione è sia iniettiva che suriettiva, è anche biiettiva ed ammette una funzione inversa \( f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \( f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y - 1}{2} \).

La funzione inversa \( f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y - 1}{2} \) soddisfa le seguenti identità:

• Per ogni \( y \in \mathbb{R} \), \( f(f^{-1}(y)) = f\left(\frac{y - 1}{2}\right) = 2\left(\displaystyle  \frac{y - 1}{2}\right) + 1 = y \), quindi la relazione \( f(f^{-1}(y)) = y \) è soddisfatta.
• Per ogni \( x \in \mathbb{R} \), \( f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 1) = \displaystyle \frac{(2x + 1) - 1}{2} = x \), quindi la relazione \( f^{-1}(f(x)) = x \) è soddisfatta.

Esempio di Funzione Non Biiettiva

Consideriamo la funzione \( f(x) = x^2 \) definita su \( \mathbb{R} \). Questa funzione non è biiettiva, poiché:

• Non è iniettiva: ad esempio, \( f(2) = 4 \) e \( f(-2) = 4 \), ma \( 2 \neq -2 \), quindi la funzione non è iniettiva.
• Non è suriettiva: ad esempio, non esiste alcun \( x \) tale che \( f(x) = -1 \), quindi la funzione non è suriettiva su \( \mathbb{R} \).
• Poiché non è né iniettiva né suriettiva, non è biiettiva e quindi non ammette una funzione inversa su \( \mathbb{R} \).

Esercizio 1: Determina se la funzione \( f(x) = 3x - 4 \) è biiettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \). Se è biiettiva, scrivi la funzione inversa.

Soluzione: La funzione è iniettiva perché se \( f(x_1) = f(x_2) \), cioè \( 3x_1 - 4 = 3x_2 - 4 \), otteniamo \( x_1 = x_2 \). Inoltre, è suriettiva perché per ogni \( y \in \mathbb{R} \), possiamo risolvere \( 3x - 4 = y \) per ottenere \( x = \displaystyle \frac{y + 4}{3} \). La funzione è quindi biiettiva e la sua inversa è \( f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y + 4}{3} \).

Esercizio 2: Verifica se la funzione \( f(x) = x^2 \) è biiettiva da \( \mathbb{R}^+ \) a \( \mathbb{R}^+ \).

Soluzione: La funzione è iniettiva su \( \mathbb{R}^+ \) perché \( x_1^2 = x_2^2 \) implica \( x_1 = x_2 \) per \( x_1, x_2 \in \mathbb{R}^+ \). È anche suriettiva su \( \mathbb{R}^+ \), poiché per ogni \( y \in \mathbb{R}^+ \), esiste un \( x = \sqrt{y} \) tale che \( f(x) = y \). La funzione è quindi biiettiva su \( \mathbb{R}^+ \) e la sua inversa è \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \).

Esercizio 3: Determina se la funzione \( f(x) = x^3 \) è biiettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \). Scrivi la funzione inversa.

Soluzione: La funzione \( f(x) = x^3 \) è sia iniettiva (poiché \( x_1^3 = x_2^3 \) implica \( x_1 = x_2 \)) che suriettiva (per ogni \( y \in \mathbb{R} \), esiste un \( x = \sqrt[3]{y} \) tale che \( f(x) = y \)). La funzione è quindi biiettiva e la sua inversa è \( f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \).

Esercizi Addizionali

Esercizio 4: Verifica se la funzione \( f(x) = e^x \) è biiettiva da \( \mathbb{R} \) a \( (0, \infty) \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = e^x \) è iniettiva (poiché \( e^{x_1} = e^{x_2} \) implica \( x_1 = x_2 \)) e suriettiva su \( (0, \infty) \), poiché per ogni \( y \in (0, \infty) \), esiste un \( x = \ln(y) \) tale che \( f(x) = y \). La funzione è quindi biiettiva e la sua inversa è \( f^{-1}(y) = \ln(y) \).

Esercizio 5: Determina se la funzione \( f(x) = x + 2 \) è biiettiva da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \).

Soluzione: La funzione \( f(x) = x + 2 \) è biiettiva, poiché è sia iniettiva che suriettiva. La funzione inversa è \( f^{-1}(y) = y - 2 \).

La restrizione di una funzione è un concetto di fondamentale importanza, che consente di restringere il dominio di una funzione a un sottoinsieme specifico. Questa operazione è particolarmente utile quando si desidera garantire che una funzione sia iniettiva e suriettiva, condizioni necessarie per l'invertibilità. Ad esempio, consideriamo la funzione quadratica \( f(x) = x^2 \), la quale non è iniettiva su \( \mathbb{R} \) poiché per ogni \( y > 0 \) esistono due preimmagini \( x_1 = \sqrt{y} \) e \( x_2 = -\sqrt{y} \). Tuttavia, restringendo il dominio a \( [0, +\infty) \), otteniamo una funzione iniettiva, permettendo così l'esistenza di una funzione inversa definita. 

Esempio di Restrizione: Funzione Quadratica

Consideriamo la funzione \( f(x) = x^2 \) definita su \( \mathbb{R} \). Questa funzione non è iniettiva, perché esistono due valori distinti \( x_1 \) e \( x_2 \) tali che \( f(x_1) = f(x_2) \). Ad esempio, \( f(2) = f(-2) = 4 \). Tuttavia, se restringiamo il dominio di \( f(x) \) al sottoinsieme \( [0, +\infty) \), la funzione diventa iniettiva. Infatti, per \( x_1, x_2 \in [0, +\infty) \), l'uguaglianza \( f(x_1) = f(x_2) \) implica \( x_1 = x_2 \), garantendo che la funzione sia ora iniettiva.

La restrizione della funzione a \( [0, +\infty) \) rende la funzione iniettiva, e possiamo definire la sua funzione inversa:

\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y}, \quad y \geq 0. \]

Altri Esempi di Restrizione

La restrizione di una funzione può essere applicata in vari contesti per semplificare il comportamento della funzione o per adattarla a un contesto specifico:

• Se \( f(x) = \sin(x) \) su \( \mathbb{R} \), possiamo restringere il dominio a \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) per renderla iniettiva. In questo caso, la funzione inversa sarà \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), con \( y \in [-1, 1] \).
• Se \( f(x) = \tan(x) \), definita su \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), la funzione è iniettiva e suriettiva su questo dominio, e la sua inversa è \( f^{-1}(y) = \arctan(y) \).

Esercizio 1: Determina se la funzione \( f(x) = x^3 \) è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Quindi, restringi il dominio in modo che la funzione sia biiettiva e trova la sua funzione inversa.

Soluzione: La funzione \( f(x) = x^3 \) è già iniettiva su \( \mathbb{R} \), poiché \( f(x_1) = f(x_2) \) implica \( x_1 = x_2 \). Non è necessario fare alcuna restrizione, e la funzione inversa è \( f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \).

Esercizio 2: La funzione \( f(x) = x^2 \) non è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Restringi il dominio a un intervallo in cui la funzione sia iniettiva e trova la funzione inversa.

Soluzione: Per rendere la funzione iniettiva, restringiamo il dominio a \( [0, +\infty) \). In questo caso, la funzione inversa sarà \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \), con \( y \geq 0 \).

Esercizio 3: Considera la funzione \( f(x) = \ln(x) \) definita su \( (0,+\infty) \). Restringi il dominio a \( [1,+\infty) \) e scrivi la funzione inversa.

Soluzione: La funzione logaritmica è iniettiva e suriettiva su \( (0,+\infty) \) (con codominio \( \mathbb{R} \)). Se restringiamo il dominio a \( [1,+\infty) \), l'immagine diventa \( [0,+\infty) \) (poiché \( \ln(1)=0 \) e \( \ln(x) \) è strettamente crescente). Di conseguenza, la funzione inversa è:

\[ f^{-1}(y)=e^y, \quad y\in [0,+\infty). \]

Esercizio 4: La funzione \( f(x) = \sin(x) \) non è iniettiva su \( \mathbb{R} \). Restringi il dominio a un intervallo in cui la funzione sia iniettiva e trova la funzione inversa.

Soluzione: La funzione \( f(x) = \sin(x) \) è iniettiva su \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \). La funzione inversa sarà \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), con \( y \in [-1, 1] \).

La restrizione di una funzione consente di manipolare il dominio di una funzione per ottenere proprietà desiderate come l'iniettività, la suriettività o la biiettività.