Il seguente limite è di fondamentale importanza in analisi matematica. Ne forniremo due dimostrazioni: una basata sul Teorema del confronto (Teorema dei Carabinieri), che sfrutta un confronto geometrico, e un'altra mediante la Serie di Taylor, che utilizza lo sviluppo in serie della funzione seno. Il limite che intendiamo dimostrare è il seguente:
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\]
Dimostrazione tramite il Teorema dei Carabinieri
Per dimostrare il limite, utilizziamo il Teorema del confronto (Teorema dei Carabinieri). Osserviamo la figura:
Consideriamo il settore circolare di raggio \(1\) e angolo \(x\) in radianti. Come si osserva nella figura, possiamo confrontare tre aree:
- Il triangolo \( \triangle OBD \), di base \( \cos x \) e altezza \( \sin x \).
- Il settore circolare \( OBD \), con area proporzionale a \( x \).
Il settore circolare \( OBD \), con area proporzionale a \( x \), poiché l’area di un settore circolare si calcola come \( \displaystyle \frac{1}{2} r^2 x \) e, nel caso di raggio unitario, diventa \( \displaystyle \frac{x}{2} \).
- Il triangolo \( \triangle OBC \), di base \(1\) e altezza \( \tan x \).
Queste tre regioni rispettano la relazione:
\[ \text{Area}(\triangle OBD) < \text{Area}(OBC) < \text{Area}(\triangle OBC) \]
Esplicitando le aree, otteniamo:
\[ \frac{1}{2} \cos x \sin x < \frac{1}{2} x < \frac{1}{2} \tan x \]
Moltiplicando entrambi i membri per \( \frac{2}{\sin x} \), si ha:
\[ \cos x < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \]
Poiché sappiamo che:
\[ \lim_{x\to 0} \cos x = 1, \quad \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos x} = 1 \]
per il Teorema del confronto (Teorema dei Carabinieri) possiamo concludere che:
\[ \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]
Dimostrazione tramite la Serie di Taylor
Un altro metodo rigoroso è quello di usare la serie di Taylor di \( \sin(x) \) in \( x = 0 \):
\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \mathcal{O}(x^5). \]
Dividendo tutto per \( x \):
\[ \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \mathcal{O}(x^4). \]
Ponendo \( x \to 0 \), i termini superiori tendono a zero, e otteniamo:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]
Abbiamo dimostrato che il limite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]
utilizzando sia il Teorema del confronto sia la Serie di Taylor. Questo risultato è fondamentale in analisi e ha numerose applicazioni.
Esempio
Osserviamo che nell'argomento del seno compare \( ax \) invece di \( x \). Per adattarlo al limite notevole, moltiplichiamo e dividiamo per \( a \):
\[ \frac{\sin(ax)}{x} = a \cdot \frac{\sin(ax)}{ax}. \]
Adesso il termine \( \displaystyle \frac{\sin(ax)}{ax} \) ha la stessa struttura del limite notevole.
Applichiamo il limite Notevole
Poiché sappiamo che:
\[ \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1, \]
possiamo sostituire \( y = ax \), che tende a \( 0 \) quando \( x \to 0 \), ottenendo:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1. \]
Moltiplicando per \( a \), otteniamo il risultato finale:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a \]
Esempio numerico
Consideriamo un caso specifico: se \( a = 3 \), allora il limite diventa:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}. \]
Applicando la formula trovata, otteniamo:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \]