Il seguente limite è di fondamentale importanza poiché compare frequentemente nello studio delle derivate, dei limiti e nelle approssimazioni delle funzioni trigonometriche.
Ne forniremo due dimostrazioni: una basata sul Teorema del confronto (noto anche come Teorema dei Carabinieri), che sfrutta un confronto geometrico, e un'altra mediante la Serie di Taylor, che utilizza lo sviluppo in serie della funzione coseno.
Il limite che intendiamo dimostrare è il seguente:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \]
Dimostrazione con il Teorema del Confronto
Consideriamo il cerchio unitario e un angolo \( x \) in radianti. È noto che:
\[ \sin(x) < x < \tan(x), \quad \text{per } x \in (0, \frac{\pi}{2}). \]
Dividendo per \( \sin(x) \):
\[ 1 < \frac{x}{\sin(x)} < \frac{\tan(x)}{\sin(x)}. \]
Possiamo riscrivere la frazione:
\[ \frac{\tan(x)}{x} = \frac{\sin(x)}{x} \cdot \frac{1}{\cos(x)}. \]
Poiché è noto che:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1, \quad \text{e} \quad \cos(x) \to 1, \]
allora anche il reciproco \( \frac{1}{\cos(x)} \) tende a \( 1 \), e concludiamo:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1. \]
Dimostrazione con le Serie di Taylor
Utilizziamo gli sviluppi di Taylor delle funzioni seno e coseno:
\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5), \] \[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
Calcoliamo il reciproco di \( \cos(x) \) utilizzando lo sviluppo in serie di \( \frac{1}{1 - u} \):
\[ \frac{1}{\cos(x)} = 1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
Ora moltiplichiamo per \( \sin(x) \):
\[ \tan(x) = (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) \cdot (1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4)). \]
Espandiamo i termini principali:
\[ \tan(x) = x + \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^5). \]
Poiché
\[ \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} = \frac{x^3}{3}, \]
abbiamo
\[ \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5). \]
Dividendo per \( x \):
\[ \frac{\tan(x)}{x} = 1 + \frac{x^2}{3} + O(x^4). \]
Poiché il termine \( \frac{x^2}{3} + O(x^4) \) tende a zero quando \( x \to 0 \), segue che:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1. \]