Uno dei limiti più utilizzati riguarda la funzione radice quadrata e si dimostra facilmente razionalizzando il denominatore, che permette di eliminare le forme indeterminate. Dimostriamo rigorosamente che:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = \frac{1}{2} \]
Razionalizzazione del Numeratore
Il numeratore \( \sqrt{1 + x} - 1 \) contiene una radice, che eliminiamo moltiplicando per il coniugato \( \sqrt{1 + x} + 1 \):
\[ \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + x} + 1}. \]
Espandendo il numeratore:
\[ (\sqrt{1 + x} - 1)(\sqrt{1 + x} + 1) = (1 + x) - 1 = x. \]
Il denominatore diventa:
\[ x (\sqrt{1 + x} + 1). \]
Semplificando:
\[ \frac{x}{x (\sqrt{1 + x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1}. \]
Calcolando il limite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}. \]
Conferma con la Derivata
Un approccio alternativo sfrutta la definizione di derivata. Osserviamo che il limite proposto ha la forma del rapporto incrementale che definisce la derivata:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(0+x) - f(0)}{x} \]
Dove \( f(x) = \sqrt{1 + x} \) e \( f(0) = 1 \).
Ricordiamo che la definizione di derivata di una funzione \( f(x) \) nel punto \( x_0 \) è:
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]
Nel nostro caso, il limite originale corrisponde esattamente alla derivata di \( f(x) = \sqrt{1 + x} \) calcolata in \( x = 0 \).
Calcoliamo questa derivata:
\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x}}. \]
Valutando in \( x = 0 \):
\[ f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}. \]
Quindi:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = f'(0) = \frac{1}{2}. \]
Abbiamo dimostrato formalmente il limite con il metodo della razionalizzazione e abbiamo verificato il risultato riconoscendo che il limite rappresenta esattamente la derivata della funzione \( f(x) = \sqrt{1 + x} \) nel punto \( x = 0 \), garantendo così una dimostrazione impeccabile e rigorosa.