Limiti di questo tipo si incontrano spesso nel calcolo di limiti con polinomi o rapporti di polinomi, specialmente quando si analizza il comportamento di funzioni razionali per valori molto grandi di \(x\).
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} \]
Caso \( n > 0 \)
Vogliamo dimostrare che:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0 \quad \text{per ogni } n > 0. \]
Definizione di limite: per ogni \( \varepsilon > 0 \), esiste \( X > 0 \) tale che se \( x > X \), allora:
\[ \left| \frac{1}{x^n} - 0 \right| < \varepsilon. \]
Ma poiché \( \frac{1}{x^n} \) è sempre positivo, possiamo riscrivere:
\[ \frac{1}{x^n} < \varepsilon. \]
Ora, basta scegliere \( X \) tale che:
\[ X = \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}}. \]
Se \( x > X \), allora:
\[ x > \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^{\frac{1}{n}} \quad \Rightarrow \quad x^n > \frac{1}{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x^n} < \varepsilon. \]
Quindi, per definizione di limite, otteniamo:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0. \]
Caso \( n = 0 \)
Se \( n = 0 \), allora l'espressione diventa semplicemente:
\[ \frac{1}{x^0} = 1. \]
Essendo costante, il limite è:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^0} = 1. \]
Caso \( n < 0 \)
Se \( n < 0 \), possiamo scrivere \( n = -m \) con \( m > 0 \). In questo caso:
\[ \frac{1}{x^n} = \frac{1}{x^{-m}} = x^m. \]
Poiché \( x^m \to \infty \) per \( x \to \infty \), segue che:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = \infty. \]
Riassumiamo i tre casi:
- Se \( n > 0 \), allora \( \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{1}{x^n} = 0 \).
- Se \( n = 0 \), allora \( \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{1}{x^n} = 1 \).
- Se \( n < 0 \), allora \( \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac{1}{x^n} = \infty \).
Questa proprietà è utile per studiare il comportamento asintotico di funzioni razionali.
Esercizio sul Limite Notevole
Calcola il seguente limite:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 7}{2x^5 + 4x^2 + 1}. \]
Soluzione. Dividiamo numeratore e denominatore per la potenza massima di \( x \) presente al denominatore, che è \( x^5 \):
\[ \frac{5x^3 + 7}{2x^5 + 4x^2 + 1} = \frac{\displaystyle \frac{5x^3}{x^5} + \displaystyle \frac{7}{x^5}}{\displaystyle \frac{2x^5}{x^5} + \displaystyle \frac{4x^2}{x^5} + \displaystyle \frac{1}{x^5}}. \]
Semplificando:
\[ = \frac{5 \cdot \displaystyle \frac{1}{x^2} + 7 \cdot \displaystyle \frac{1}{x^5}}{2 + 4 \cdot \displaystyle \frac{1}{x^3} + \displaystyle \frac{1}{x^5}}. \]
Ora applichiamo il limite. Poiché sappiamo che \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0 \) per ogni \( n > 0 \), otteniamo:
\[ = \frac{5 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{2 + 4 \cdot 0 + 0} = \frac{0}{2} = 0. \]
Risultato
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 7}{2x^5 + 4x^2 + 1} = 0. \]
Questo esercizio mostra come il limite notevole sia utile per analizzare il comportamento di funzioni razionali quando \( x \to \infty \).