Il seguente limite mostra che la crescita della funzione esponenziale \( e^x \) è molto più veloce di qualsiasi polinomio \( x^n \). Questo risultato è fondamentale in analisi matematica e viene usato in teoria degli ordini di grandezza e nella complessità computazionale.
Dimostriamo che:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty \]
Criterio di De L'Hôpital
Consideriamo la funzione:
\[ f(x) = \frac{e^x}{x^n}. \]
Applichiamo il criterio di De L'Hôpital, derivando numeratore e denominatore \( n \) volte:
- Il numeratore \( e^x \) resta invariato.
- Il denominatore, dopo \( n \) derivazioni, diventa \( n! \).
Quindi, abbiamo:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{n!} = \infty. \]
Confronto degli ordini di grandezza
Un altro modo di dimostrare il limite è notare che la funzione \( e^x \) può essere scritta come la sua serie di Taylor:
\[ e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}. \]
Consideriamo solo il termine con \( k = n+1 \):
\[ e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}. \]
Quindi:
\[ \frac{e^x}{x^n} > \frac{x^{n+1}}{(n+1)! x^n} = \frac{x}{(n+1)!}. \]
Poiché \( \displaystyle \frac{x}{(n+1)!} \to \infty \) per \( x \to \infty \), segue che \( \displaystyle \frac{e^x}{x^n} \to \infty \).
Metodo asintotico
Possiamo anche utilizzare un approccio asintotico. Notiamo che il rapporto tra le due funzioni è:
\[ \frac{e^x}{x^n} = e^{x - n \ln x}. \]
Per \( x \) sufficientemente grande, il termine \( x - n \ln x \) cresce indefinitamente, quindi \( e^{x - n \ln x} \to \infty \), e il limite è dimostrato.