Vogliamo dimostrare che:
\[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x = e^a \]
- Dimostrazione utilizzando i logaritmi e la regola di L'Hôpital
- Dimostrazione utilizzando la serie di Taylor
Dimostrazione utilizzando i logaritmi e la regola di L'Hôpital
Definiamo la funzione:
\[ y = \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x \]
Prendiamo il logaritmo naturale su entrambi i lati:
\[ \ln y = x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \]
Ora, studiamo il limite:
\[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \]
Applicando la regola di L'Hôpital alla forma indeterminata \( \frac{0}{0} \):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right)}{\frac{1}{x}} = a \]
Pertanto, \( \ln y \to a \), e quindi \( y \to e^a \).
Dimostrazione utilizzando la serie di Taylor
Consideriamo la funzione:
\[ y = \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x \]
Prendiamo il logaritmo naturale di entrambi i lati:
\[ \ln y = x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \]
Per calcolare il limite, utilizziamo lo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo naturale attorno a \( u = 0 \):
\[ \ln(1 + u) \approx u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \dots, \quad \text{quando } u \to 0 \]
Sia \( u = \frac{a}{x} \). Sostituendo nell'espansione, otteniamo:
\[ \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \approx \frac{a}{x} - \frac{a^2}{2x^2} + \frac{a^3}{3x^3} - \dots \]
Moltiplichiamo entrambi i lati per \( x \):
\[ x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \approx x \left( \frac{a}{x} - \frac{a^2}{2x^2} + \frac{a^3}{3x^3} - \dots \right) \]
Semplificando i termini:
\[ x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \approx a - \frac{a^2}{2x} + \frac{a^3}{3x^2} - \dots \]
Quando \( x \to \infty \), tutti i termini della forma \( \frac{a^n}{x^n} \) con \( n \geq 1 \) tendono a 0. Pertanto, otteniamo:
\[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) = a \]
Elevando entrambi i lati a \( e \), otteniamo:
\[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x = e^a \]