Vogliamo dimostrare il seguente limite:
\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e \]
Dimostreremo il limite utilizzando due metodi distinti, come il logaritmo naturale e la sua derivata e tramite lo sviluppo in serie di Taylor.
Logaritmo naturale e derivata
Poniamo:
\[ y = (1 + x)^{\frac{1}{x}} \]
Applichiamo il logaritmo naturale:
\[ \ln y = \frac{1}{x} \ln(1 + x) \]
Calcoliamo il limite del termine destro:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \]
Utilizzando il limite fondamentale:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \]
Otteniamo:
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 1 \]
Il che implica:
\[ \lim_{x \to 0} y = e \]
Sviluppo di Taylor
Utilizziamo lo sviluppo di Taylor per \( \ln(1 + x) \) in un intorno di \( x = 0 \):
\[ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \]
Abbiamo quindi:
\[ \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + O(x^2) \]
Passando al limite per \( x \to 0 \), otteniamo:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \]
Quindi:
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 1 \]
Il che implica:
\[ \lim_{x \to 0} y = e \]
Abbiamo così dimostrato il limite con due approcci distinti.
Esercizi
Utilizzando il limite notevole, calcoliamo i seguenti limiti:
Esercizio 1. Calcolare:
\[ \lim_{x \to 0} \left( 1 + 2x \right)^{\frac{1}{x}} \]
Soluzione. Poniamo \( y = (1 + 2x)^{\frac{1}{x}} \), prendiamo il logaritmo:
\[ \ln y = \frac{1}{x} \ln(1 + 2x) \]
Per il limite fondamentale:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} = 2 \]
Quindi:
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 2 \Rightarrow \lim_{x \to 0} y = e^2 \]
Esercizio 2. Calcolare:
\[ \lim_{x \to 0} \left( 1 + x^2 \right)^{\frac{1}{x^2}} \]
Soluzione. Poniamo \( y = (1 + x^2)^{\frac{1}{x^2}} \) e prendiamo il logaritmo:
\[ \ln y = \frac{1}{x^2} \ln(1 + x^2) \]
Per lo sviluppo di Taylor:
\[ \ln(1 + x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6) \]
Abbiamo:
\[ \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \]
Passando al limite:
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 1 \Rightarrow \lim_{x \to 0} y = e \]