In questa dimostrazione calcoleremo il limite notevole:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a). \]
Questo risultato è fondamentale e per dimostrarlo utilizzeremo due approcci distinti.
- Sviluppo di Taylor
- Dimostrazione del Limite usando la Derivata
- Derivata della funzione esponenziale
- Conclusione
Sviluppo di Taylor
Utilizziamo la definizione della funzione esponenziale:
\[ a^x = e^{x \ln a}. \]
Sviluppiamo \( e^{x \ln a} \) in serie di Taylor in un intorno di \( x = 0 \):
\[ e^{x \ln a} = 1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \frac{(x \ln a)^3}{3!} + \dots \]
Sostituendo questa espansione nel limite:
\[ \frac{a^x - 1}{x} = \frac{\left(1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \dots\right) - 1}{x}. \]
Semplificando:
\[ \frac{x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \dots}{x}. \]
Dividendo tutto per \( x \):
\[ \ln a + \frac{x \ln^2 a}{2!} + \frac{x^2 \ln^3 a}{3!} + \dots. \]
Quando \( x \to 0 \), i termini con \( x \) tendono a zero, lasciando:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a. \]
Dimostrazione del Limite usando la Derivata
In questa parte della dimostrazione, calcoliamo il limite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a). \]
Per fare questo, utilizziamo la definizione di derivata. La derivata di una funzione \( f(x) \) in un punto \( x = a \) è definita come:
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}. \]
Nel nostro caso, la funzione è \( f(x) = a^x \), quindi dobbiamo calcolare la derivata di \( f(x) \) in \( x = 0 \). La derivata di \( f(x) = a^x \) è:
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{0+h} - a^0}{h}. \]
Poiché \( a^0 = 1 \), questa espressione diventa:
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}. \]
Questa è esattamente la forma del limite che stiamo cercando di calcolare!
Derivata della funzione esponenziale
Per trovare la derivata di \( a^x \), possiamo riscrivere \( a^x \) come \( e^{x \ln a} \), dove \( \ln a \) è il logaritmo naturale di \( a \). Quindi, la derivata di \( a^x \) è:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} e^{x \ln a} = e^{x \ln a} \cdot \ln a. \]
Quando \( x = 0 \), otteniamo:
\[ f'(0) = e^{0 \ln a} \cdot \ln a = 1 \cdot \ln a = \ln a. \]
Conclusione
Abbiamo così dimostrato che la derivata della funzione \( a^x \) in \( x = 0 \) è \( \ln a \), il che implica che:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \ln a. \]
Questo è esattamente il limite che volevamo calcolare, concludendo la dimostrazione.