In questa dimostrazione calcoleremo il limite notevole:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha. \]
Per dimostrare questo limite utilizzeremo lo sviluppo in serie di Taylor in un intorno del punto \( x = 0 \) e la definizione di derivata per calcolare il limite come la derivata della funzione \( (1+x)^{\alpha} \) in \( x = 0 \).
Sviluppo in Serie di Taylor
Iniziamo con il primo approccio, utilizzando la serie di Taylor della funzione \( (1+x)^{\alpha} \) in un introrno del punto \( x = 0 \).
La serie di Taylor di \( (1+x)^{\alpha} \) è data da:
\[ (1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \dots \]
Ora sostituiremo questa espansione nell'espressione del limite:
\[ \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \frac{1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \dots - 1}{x} \]
Semplificando:
\[ \frac{\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \dots}{x} = \alpha + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x + \dots \]
Quando \( x \to 0 \), tutti i termini con \( x \) tendono a zero, lasciando solo:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha. \]
Definizione di Derivata
Un altro modo per dimostrare il limite è utilizzando la definizione di derivata. Consideriamo la funzione \( f(x) = (1+x)^{\alpha} \). La derivata di \( f(x) \) in \( x = 0 \) è definita come:
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}. \]
Nel nostro caso, \( f(x) = (1+x)^{\alpha} \), quindi:
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^{\alpha} - (1+0)^{\alpha}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^{\alpha} - 1}{h}. \]
Questa è esattamente la forma del limite che dobbiamo calcolare! La derivata della funzione \( f(x) = (1+x)^{\alpha} \) in \( x = 0 \) è:
\[ f'(x) = \alpha (1+x)^{\alpha-1}. \]
Quindi, valutando in \( x = 0 \):
\[ f'(0) = \alpha (1+0)^{\alpha-1} = \alpha. \]
Pertanto, abbiamo:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha. \]
Abbiamo dimostrato il limite notevole:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha, \] utilizzando sia lo sviluppo in serie di Taylor che la definizione di derivata.