Il teorema della permanenza del segno per le funzioni afferma che, se una funzione reale \( f \) ha un limite \( L \neq 0 \) per \( x \to x_0 \), esiste un intorno di \( x_0 \) tale che la funzione \( f(x) \) mantiene lo stesso segno di \( L \) per tutti i valori di \( x \) in quell'intorno (escluso, eventualmente, \( x_0 \)). In altri termini:
\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L > 0 \, \implies \, \exists \delta > 0 \, : \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \, , \, f(x) > 0 \]
Se invece \( L < 0 \), allora:
\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L < 0 \, \implies \, \exists \delta > 0 \, : \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \, , \, f(x) < 0 \]
Ricordiamo la definizione di limite:
\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L \, \iff \, \forall \epsilon > 0 \,\, \exists \delta > 0 \, : \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \, , \, |f(x) - L| < \epsilon \]
In particolare, scelto \( \displaystyle \epsilon = \frac{|L|}{2} \), si ha
\[ L - \frac{|L|}{2} < f(x) < L + \frac{|L|}{2} \]
Ora, osserviamo che:
- Se \( L > 0 \), allora
\[ \left( L - \frac{L}{2} \right) = \frac{L}{2} < f(x) < \frac{3L}{2} = \left( L + \frac{L}{2} \right) \qquad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \]
- Se \( L = -|L| < 0 \), allora
\[ \left( -|L| - \frac{|L|}{2} \right) = -\frac{3|L|}{2} < f(x) < -\frac{|L|}{2} = \left( -|L| + \frac{|L|}{2} \right) \qquad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \]
In entrambi i casi, in un intorno di \( x_0 \), i valori della funzione \( f(x) \) hanno lo stesso segno di \( L \).
Esercizio 1. Prendiamo \( f(x) = e^x \). Calcoliamo il limite per \( x \to 0 \):
\[ \lim_{x \to 0} e^x = e^0 = 1 \]
Preso \( \epsilon = \displaystyle \frac{1}{2} \), si ha:
\[ |e^x - 1| < \frac{1}{2} \]
Questo implica:
\[ -\frac{1}{2} < e^x - 1 < \frac{1}{2} \]
Aggiungendo 1 a tutti i membri:
\[ \frac{1}{2} < e^x < \frac{3}{2} \]
Concludiamo che in un intorno di \(x = 0\), la funzione \(e^x\) assume valori positivi.
Esercizio 2. Calcoliamo il limite per \( x \to 2 \) della funzione logaritmica \( f(x) = \ln(x) \). Abbiamo:
\[ \lim_{x \to 2} \ln(x) = \ln(2) \]
Ora, preso \( \displaystyle \epsilon = \frac{\ln(2)}{2} \):
\[ |\ln(x) - \ln(2)| < \frac{\ln(2)}{2} \]
Questo implica:
\[ \displaystyle \ln(2) - \frac{\ln(2)}{2} < \ln(x) < \ln(2) + \frac{\ln(2)}{2} \]
Infine, semplificando:
\[ \frac{\ln(2)}{2} < \ln(x) < \frac{3\ln(2)}{2} \]
Dunque, in un intorno di \(x = 2\) la funzione \( \ln(x) \) assume valori positivi.
Esercizio 3. Sia \( f(x) = e^x - 1 \). Calcoliamo il limite per \( x \to 1 \):
\[ \lim_{x \to 1} (e^x - 1) = e - 1 \]
Prendiamo \( \displaystyle \epsilon = \frac{e - 1}{2} \):
\[ |(e^x - 1) - (e - 1)| < \frac{e - 1}{2} \]
Questo implica:
\[ e - 1 - \frac{e - 1}{2} < e^x - 1 < e - 1 + \frac{e - 1}{2} \]
Semplificando:
\[ \frac{e - 1}{2} < e^x - 1 < \frac{3(e - 1)}{2}. \]
Infine:
\[ 1 + \frac{e - 1}{2} < e^x < 1 + \frac{3(e - 1)}{2}. \]
Dunque, in un intorno di \(x = 1\), sia \(e^x\) che \(f(x) = e^x - 1\) assumono valori positivi, confermando il teorema.