Il teorema di Stolz-Cesàro fornisce uno strumento utile per calcolare il limite di un rapporto di successioni. È particolarmente utile quando il denominatore tende all'infinito ed il calcolo del limite non è immediato. Questo teorema rappresenta una generalizzazione dei criteri di Cesàro ed è spesso usato per semplificare la verifica di convergenza di successioni.
Teorema di Stolz-Cesàro. Siano \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) e \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) due successioni numeriche, con \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) che soddisfa le seguenti proprietà:
- \( b_n > 0 \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \)
- \( b_{n+1} > b_n \) per ogni \( n \in \mathbb{N} \)
- \(\lim_{n\to \infty } b_n = +\infty \).
Se esiste il limite:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \]
allora esiste anche il limite:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Dimostrazione. Supponiamo che il limite:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \]
esista e sia uguale a \( L \). Dobbiamo dimostrare che:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Consideriamo la definizione di limite:
\[ \forall \varepsilon > 0 \,\, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} : \left| \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} - L \right| < \varepsilon \quad \forall n \geq n_\varepsilon \]
Moltiplichiamo entrambi i membri per \( b_{n+1} - b_n \), che è positivo:
\[ ( L - \varepsilon)(b_{n+1} - b_n) < a_{n+1} - a_n < ( L + \varepsilon)(b_{n+1} - b_n) \]
Sommiamo questa disuguaglianza da \( k = n_\varepsilon \) fino a \( k = n-1 \):
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} ( L - \varepsilon)(b_{k+1} - b_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} ( L + \varepsilon)(b_{k+1} - b_k) \]
Le somme sono telescopiche, il che significa che i termini intermedi si elidono. In dettaglio:
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = (a_{n_\varepsilon+1} - a_{n_\varepsilon}) + (a_{n_\varepsilon+2} - a_{n_\varepsilon+1}) + \dots + (a_n - a_{n-1}) = a_n - a_{n_\varepsilon} \]
Lo stesso vale per la somma dei \( b_k \):
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_n - b_{n_\varepsilon} \]
Quindi, la disuguaglianza diventa:
\[ ( L - \varepsilon)(b_n - b_{n_\varepsilon}) < a_n - a_{n_\varepsilon} < ( L + \varepsilon)(b_n - b_{n_\varepsilon}) \]
Dividiamo per \( b_n \)
\[ ( L - \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) < \frac{a_n}{b_n} - \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} < ( L + \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) \]
e riorganizziamo i termini:
\[ ( L - \varepsilon) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} < \frac{a_n}{b_n} < ( L + \varepsilon) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} \]
Poiché \( b_n \to +\infty \), segue che:
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} = 0 \]
Infine, prendendo il limite ai membri della disuguaglianza:
\[ L - \varepsilon \leq \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} \leq L + \varepsilon \]
Dato che \( \varepsilon \) è arbitrario, concludiamo che:
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Questo conclude la dimostrazione del Teorema di Stolz-Cesàro.
La dimostrazione per il caso \( n \to -\infty \) segue lo stesso ragionamento utilizzato per \( n \to +\infty \), con una sola modifica: l'intervallo della somma telescopica.
Per \( n \to +\infty \), la somma va da \( n_\varepsilon \) e arriva fino a \( n-1 \):
\[ \sum_{k = n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_n - a_{n_\varepsilon} \]
Per \( n \to -\infty \), la somma va da \( n \) e arriva fino a \( n_\varepsilon - 1 \):
\[ \sum_{k = n}^{n_\varepsilon - 1} (a_{k+1} - a_k) = a_{n_\varepsilon} - a_n \]
Questo riflette il fatto che \( n \to -\infty \), quindi \( n \leq n_\varepsilon \).
La restante parte della dimostrazione rimane invariata, portando alla conclusione:
\[ \lim_{n \to -\infty} \frac{a_n}{b_n} = L \]
Questo conclude la dimostrazione per \( n \to -\infty \).
Corollario I. Supponiamo che la successione \(\{a_n\}\) sia tale che:
\[\lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L \]
Allora:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L \]
Dimostrazione. Si tratta di un caso particolare del teorema di Stolz-Cesàro. Consideriamo la successione \(\{b_n\}\) definita da \( b_n = n \) e osserviamo che \(b_{n+1} - b_n = 1\), quindi:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L \]
Infine, per il teorema di Stolz-Cesàro:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L \]
Corollario II. Sia \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) una successione e consideriamo la sequenza delle sue medie, definita da
\[ \alpha_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_k \quad n \in \mathbb{N} \]
Se \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) converge al valore \( L \), allora anche la successione \( \{\alpha_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) tende allo stesso limite:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \implies \lim_{n \to \infty} \alpha_n = L \]
Dimostrazione. Per dimostrare questo risultato, utilizziamo il teorema di Stolz-Cesàro. Consideriamo le successioni
\[ c_n = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \quad b_n = n \quad n \in \mathbb{N} \]
Riscrivendo i limiti, si ottiene:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{b_n} \]
Poiché \( \{b_n\} \) è strettamente crescente e illimitata, e \( \{c_n\} \) soddisfa le ipotesi del teorema di Stolz-Cesàro, abbiamo:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{c_{n+1} - c_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} a_n = L \]
Da cui segue che:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{b_n} = L \]
Corollario III. Supponiamo ora che la successione \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) abbia limite \( L \) e che sia \( a_n > 0 \) per ogni \( n \). Allora vale la seguente relazione:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L \]
Dimostrazione. Definiamo una nuova successione
\[ b_n = \log a_n \quad n \in \mathbb{N} \]
La successione \( \{b_n\} \) converge a \( \log L \). Le medie aritmetiche di \( \{b_n\} \) sono
\[ \beta_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} b_k = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \log a_k = \log \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k}. \]
Applicando il corollario II, sappiamo che
\[ \lim_{n \to \infty} \beta_n = \lim_{n \to \infty} b_n = \log L, \]
il che implica
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L \]
Corollario IV. Sia \(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) una successione di numeri reali strettamente positivi. Vale il seguente risultato:
Se esiste \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L\), allora esiste anche \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L\).
Dimostrazione. Consideriamo una nuova successione ausiliaria \(\{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) definita nel seguente modo:
\[b_n = \frac{a_n}{a_{n-1}} \quad \text{per } n \geq 1 \quad \text{e} \quad b_0 = a_0\]
Per il corollario III sappiamo che:
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^n b_k} = \lim_{n \to \infty} b_n = L\]
Osserviamo ora che il prodotto telescopico dei \(b_k\) può essere riscritto come:
\[\sqrt[n]{\prod_{k=0}^n b_k} = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \frac{a_k}{a_{k-1}} \cdot a_0} = \sqrt[n]{a_n}\]
Da cui segue immediatamente la tesi.
