Il teorema di Weierstrass è uno dei risultati fondamentali dell'analisi matematica. Esso garantisce che una funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato assume necessariamente un valore massimo e un valore minimo.
Indice
Teorema di Weierstrass
Sia \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato \( [a,b] \subseteq \mathbb{R} \). Allora \( f \) è limitata e ammette massimo e minimo assoluti su \( [a,b] \).
Dimostrazione. Consideriamo l'insieme dei valori assunti dalla funzione \( f \) su \( [a,b] \), che indichiamo con \( f([a,b]) \). Poiché \( f \) è continua su \( [a,b] \), l'immagine di \( f \) è chiusa. Inoltre, essendo \( [a,b] \) un intervallo chiuso e limitato, \( f([a,b]) \) risulta anche un insieme limitato.
Definiamo:
\[ M = \sup f([a,b]) \quad \text{e} \quad m = \inf f([a,b]). \]
Il nostro obiettivo è mostrare che esistono punti \( x_M, x_m \in [a,b] \) tali che: \[ f(x_M) = M \quad \text{e} \quad f(x_m) = m. \]
Esistenza del massimo
Per la definizione di \( M \) come estremo superiore, esiste una successione di valori \( \{ y_n \} \subseteq f([a,b]) \) tale che \( y_n \to M \). Questo implica che esiste una successione di punti \( \{ x_n \} \subseteq [a,b] \) per cui: \[ f(x_n) = y_n \to M. \] La successione \( \{ x_n \} \) è contenuta nell'intervallo compatto \( [a,b] \), quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, ammette una sottosuccessione \( \{ x_{n_k} \} \) convergente ad un punto \( x \in [a,b] \).
Per la continuità di \( f \), si ha: \[ f(x_{n_k}) \to f(x). \] Ma poiché \( f(x_{n_k}) \to M \), segue che: \[ f(x) = M. \] Pertanto, esiste almeno un punto \( x_M \in [a,b] \) tale che \( f(x_M) = M \).
Esistenza del minimo
Ora dimostriamo l'esistenza del minimo con lo stesso procedimento. Per la definizione di \( m \) come estremo inferiore, esiste una successione \( \{ z_n \} \subseteq f([a,b]) \) tale che \( z_n \to m \). Quindi esiste una successione di punti \( \{ w_n \} \subseteq [a,b] \) per cui: \[ f(w_n) = z_n \to m. \] Anche in questo caso, la successione \( \{ w_n \} \) è contenuta in \( [a,b] \). Applicando nuovamente il teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione \( \{ w_{n_k} \} \) che converge ad un punto \( x' \in [a,b] \).
Per la continuità di \( f \), si ha: \[ f(w_{n_k}) \to f(x'). \] Poiché \( f(w_{n_k}) \to m \), ne consegue che: \[ f(x') = m. \] Di conseguenza, esiste un punto \( x_m \in [a,b] \) tale che \( f(x_m) = m \).
Abbiamo dimostrato che la funzione continua \( f \) definita su un intervallo chiuso e limitato \( [a,b] \) è limitata e raggiunge i suoi valori massimo e minimo in almeno un punto di \( [a,b] \).
