Varianza della Distribuzione Gamma

In questa sezione esamineremo i passaggi necessari per calcolare la varianza di una variabile aleatoria che segue una distribuzione Gamma. Il calcolo della varianza richiede la determinazione di alcuni momenti della distribuzione, in particolare il secondo momento \(\mathbb{E}(X^2)\) e il primo momento \(\mathbb{E}(X)\).

Inizialmente, calcoleremo il secondo momento \(\mathbb{E}(X^2)\) risolvendo un integrale che coinvolge la funzione di densità di probabilità della distribuzione Gamma. Successivamente, semplificheremo il calcolo mediante un cambio di variabile e utilizzeremo le proprietà della funzione Gamma per ottenere un'espressione esplicita. Infine, calcoleremo la varianza utilizzando la definizione \(\text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2\), una volta stabilito il valore del primo momento.

• Determinazione del Secondo Momento
• Cambio di Variabile
• Uso della Funzione Gamma
• Calcolo della Varianza
• Significato dei Parametri
• Esempio Numerico per Valore Atteso e Varianza

Per calcolare la varianza di una variabile aleatoria \(X\), il primo passo consiste nel determinare il valore atteso di \(X^2\), indicato con \(\mathbb{E}(X^2)\). Questo valore può essere espresso tramite il seguente integrale:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \int_{0}^{+\infty} x^2 f_X(x) \, dx \]

Sostituendo la funzione di densità di probabilità \(f_X(x)\) della distribuzione Gamma, si ottiene:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{1}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} x^{a+1} e^{-\frac{x}{\lambda}} \, dx \]

Per semplificare il calcolo, effettuiamo un cambio di variabile \(y = \frac{x}{\lambda}\), che implica \(x = \lambda y\) e \(dx = \lambda \, dy\). Sostituendo nell'integrale precedente, otteniamo:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{1}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} \lambda^{a+1} y^{a+1} e^{-y} \, \lambda \, dy \]

Raggruppando i termini, si ottiene:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{\lambda^{a+2}}{\lambda^a \Gamma(a)} \int_{0}^{+\infty} y^{(a+2)-1} e^{-y} \, dy \]

L’integrale risultante corrisponde alla definizione della funzione Gamma:

\[ \int_{0}^{+\infty} y^{k-1} e^{-y} \, dy = \Gamma(k) \]

Sostituendo \(k = a+2\), otteniamo:

\[ \mathbb{E}(X^2) = \frac{\lambda^2}{\Gamma(a)} \Gamma(a+2) \]

Utilizzando la proprietà \(\Gamma(a+2) = (a+1)a\Gamma(a)\), concludiamo che:

\[ \mathbb{E}(X^2) = (a+1)a\lambda^2 \]

La varianza è definita da:

\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 \]

Per una variabile aleatoria che segue una distribuzione Gamma, la definizione della distribuzione ci dà:

\[ \mathbb{E}(X) = a\lambda \]

Elevando al quadrato, otteniamo:

\[ \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 = (a\lambda)^2 = a^2\lambda^2 \]

Sostituendo questi risultati:

\[ \text{Var}(X) = (a+1)a\lambda^2 - a^2\lambda^2 \]

Semplificando, otteniamo:

\[ \text{Var}(X) = a\lambda^2 \]

Così, abbiamo derivato l’espressione analitica della varianza di una variabile aleatoria \(X\) che segue una distribuzione Gamma:

\[ \text{Var}(X) = a\lambda^2 \]

Il parametro \(a\) (detto anche "parametro di forma") determina la forma della distribuzione Gamma. In particolare, controlla il comportamento della coda e la dispersione generale della distribuzione. Valori più elevati di \(a\) tendono a concentrare la distribuzione attorno alla media.

Il parametro \(\lambda\) (conosciuto anche come "parametro di scala") regola il grado di dispersione della distribuzione Gamma. Valori maggiori di \(\lambda\) producono una distribuzione più dispersa, aumentando così la varianza della variabile aleatoria \(X\).

Di conseguenza, la varianza \(\text{Var}(X) = a\lambda^2\) evidenzia come la dispersione di \(X\) sia influenzata sia dal parametro \(a\) sia dal parametro \(\lambda\), rendendo l'analisi dei momenti fondamentale per comprendere le proprietà statistiche della distribuzione Gamma.

Supponiamo che una variabile aleatoria \(X\) segua una distribuzione Gamma con parametri \(a = 3\) (parametro di forma) e \(\lambda = 2\) (parametro di scala). L'obiettivo è calcolare la varianza di \(X\).

Iniziamo calcolando il valore atteso \(\mathbb{E}(X)\). Per una variabile aleatoria con distribuzione Gamma, il valore atteso è dato dalla relazione: \[ \mathbb{E}(X) = a \cdot \lambda \] Sostituendo i valori dei parametri \(a\) e \(\lambda\), si ottiene: \[ \mathbb{E}(X) = 3 \cdot 2 = 6 \] Quindi, il valore atteso della variabile aleatoria \(X\) è pari a 6.

Successivamente, calcoliamo il secondo momento \(\mathbb{E}(X^2)\). Questo può essere determinato utilizzando la relazione: \[ \mathbb{E}(X^2) = (a+1) \cdot a \cdot \lambda^2 \] Sostituendo i valori dei parametri, si ha: \[ \mathbb{E}(X^2) = (3+1) \cdot 3 \cdot 2^2 = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48 \] Pertanto, il secondo momento della variabile aleatoria \(X\) è pari a 48.

Infine, calcoliamo la varianza \(\text{Var}(X)\) utilizzando la definizione: \[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \left[\mathbb{E}(X)\right]^2 \] Sostituendo i valori calcolati in precedenza, otteniamo: \[ \text{Var}(X) = 48 - 6^2 = 48 - 36 = 12 \] Quindi, la varianza della variabile aleatoria \(X\) è pari a 12.

In conclusione, per una variabile aleatoria \(X\) con distribuzione Gamma e parametri \(a = 3\) e \(\lambda = 2\), il valore atteso risulta essere \(6\) e la varianza risulta essere \(12\). Tali risultati indicano che i valori di \(X\) tendono, in media, a concentrarsi attorno a 6, mentre la dispersione dei valori rispetto alla media è moderata, con una varianza pari a 12.