Definição de função (Matemática)

Uma função é uma relação entre dois conjuntos, na qual a cada elemento do domínio corresponde um único elemento do codomínio. Nesta seção, vamos analisar a definição formal, o domínio, o codomínio, a imagem e as principais propriedades, como injetividade, sobrejetividade e bijetividade.

• Definição de Função
• Domínio, Codomínio e Imagem
• Exemplos de Funções
• Propriedades das Funções
• Funções Injetivas
• Funções Não Injetivas
• Exercícios sobre Funções Injetivas
• Funções Sobrejetivas
• Funções Não Sobrejetivas
• Exercícios sobre Funções Sobrejetivas
• Alguns Exemplos
• Funções Bijetivas
• Função Inversa
• Exercícios sobre Funções Bijetivas
• Restrição de uma Função
• Exercícios sobre Restrição de Funções

Formalmente, uma função é uma lei (ou mapa) que associa a cada elemento de um conjunto \(X\) (denominado domínio) um único elemento de outro conjunto \(Y\) (denominado codomínio). A notação usada para expressar uma função é a seguinte:

\[ f: X \to Y \quad , \quad x \mapsto f(x) \]

Ou:

\[ \begin{align*} f \, : \, & X \longrightarrow Y \\ & x \longmapsto f(x) \end{align*} \]

Assim, afirma-se que a função \(f\) é definida sobre o conjunto \(X\) e os valores assumidos pertencem ao conjunto \(Y\). O termo \(f(x)\) refere-se ao elemento \(y \in Y\) que é associado a cada \(x \in X\), sendo a função \(f\) responsável por especificar a lei de correspondência entre os elementos de \(X\) e os de \(Y\).

Como mencionado anteriormente, o domínio de uma função \(f\) é o conjunto \(X\) formado por todos os elementos para os quais a função está definida. Formalmente:

\[ \text{Dom}(f) = X \]

Por exemplo, a função:

\[ f \, : \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad x \mapsto \frac{1}{x^2+1} \]

está definida sobre toda a reta real. Assim, \( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \). A imagem, por outro lado, é o conjunto dos valores assumidos pela função, que neste caso específico é \( \text{Imm}(f) = (0, 1] \).

O codomínio é o conjunto \(Y\) que contém todos os valores que podem ser atingidos pela função \(f\), embora nem todos esses valores precisem ser efetivamente alcançados. A imagem (ou range) de uma função \(f\) é o conjunto dos elementos de \(Y\) que são efetivamente atingidos pela função, e é definida como:

\[ \text{Imm}(f) = f(X) = \{ y \in Y \mid \exists x \in X \, : \, f(x) = y \} \]

Um exemplo clássico de função é a função linear, que representa a reta e que pode ser formalmente escrita como:

\[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad f(x) = mx + q \]

onde \(m\) e \(q\) são constantes reais. Outro exemplo significativo é a função quadrática, que descreve uma parábola e é expressa por:

\[ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad g(x) = ax^2 + bx + c \quad , \quad a \neq 0 \]

As funções possuem algumas propriedades fundamentais que permitem caracterizá-las de maneira mais precisa.

Uma função \( f: X \to Y \) é chamada injetiva se a valores distintos correspondem imagens distintas. Em outras palavras, se dois elementos de \( X \) são distintos, suas imagens por meio de \( f \) também são distintas. Em termos matemáticos, a função é injetiva se:

\[ x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2) \]

Outra forma de dizer que uma função é injetiva é que, se dois elementos são mapeados para o mesmo valor, então eles devem ser iguais. Ou seja:

\[ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 \]

Um exemplo de função injetiva é a função \( f \, : \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida como \( f(x) = x^3 \). Vejamos por que essa função é injetiva:

• Se \( x_1 \neq x_2 \), então \( x_1^3 \neq x_2^3 \), o que significa que as imagens de \( x_1 \) e \( x_2 \) são distintas.
• Em outras palavras, para cada par de valores distintos \( x_1 \) e \( x_2 \) pertencentes a \( \mathbb{R} \), seus cubos nunca serão iguais.

Nem todas as funções são injetivas. Uma função é chamada não injetiva quando existem pelo menos dois elementos distintos de \( X \) que possuem a mesma imagem em \( Y \). Em outras palavras, existem \( x_1 \neq x_2 \) tal que \( f(x_1) = f(x_2) \).

Exemplos de funções não injetivas incluem:

• A função quadrática \( f(x) = x^2 \), que não é injetiva em \( \mathbb{R} \). De fato, \( f(2) = f(-2) = 4 \), mas \( 2 \neq -2 \), então \( f(x) = x^2 \) não é injetiva.
• A função seno \( f(x) = \sin(x) \), que não é injetiva em \( \mathbb{R} \), pois \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), mas \( 0 \neq \pi \), logo não é injetiva.

Exercício 1: Determine se a função \( f(x) = 2x + 3 \) é injetiva.

Solução: A função é injetiva se, para cada par de valores distintos \( x_1 \) e \( x_2 \), as imagens \( f(x_1) \) e \( f(x_2) \) forem distintas. Suponhamos que \( f(x_1) = f(x_2) \), ou seja:

\[ 2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \]

Subtraindo 3 de ambos os lados, obtemos:

\[ 2x_1 = 2x_2 \]

Dividindo por 2:

\[ x_1 = x_2 \]

Como \( x_1 = x_2 \), a função é injetiva.

Exercício 2: Determine se a função \( f(x) = x^2 \) é injetiva em \( \mathbb{R} \).

Solução: A função \( f(x) = x^2 \) não é injetiva em \( \mathbb{R} \). De fato, considere os valores \( x_1 = -2 \) e \( x_2 = 2 \). Ambos satisfazem \( f(x_1) = f(x_2) \), ou seja:

\[ (-2)^2 = 2^2 = 4 \]

Mas \( -2 \neq 2 \), portanto a função não é injetiva. A função é injetiva apenas se definida em \( \mathbb{R}^+ \) ou \( \mathbb{R}^- \), pois nestes domínios cada número tem um único quadrado positivo.

Exercício 3: Verifique se a função \( f(x) = \sin(x) \) é injetiva em \( \mathbb{R} \).

Solução: A função \( f(x) = \sin(x) \) não é injetiva em \( \mathbb{R} \), pois existem vários valores de \( x \) que dão o mesmo resultado. Por exemplo, \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), mas \( 0 \neq \pi \). Portanto, a função não é injetiva em \( \mathbb{R} \). Se limitássemos o domínio da função, por exemplo, para \( \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] \), a função seria injetiva.

Exercício 4: Determine se a função \( f(x) = \ln(x) \) é injetiva no domínio \( (0, \infty) \).

Solução: A função \( f(x) = \ln(x) \) é injetiva no domínio \( (0, \infty) \), pois, se \( \ln(x_1) = \ln(x_2) \), então necessariamente \( x_1 = x_2 \). Isso é válido para todos os valores de \( x_1 \) e \( x_2 \) pertencentes ao domínio \( (0, \infty) \).

Exercício 5: Verifique se a função \( f(x) = \frac{1}{x} \) é injetiva em \( \mathbb{R}^* \) (todos os reais exceto 0).

Solução: A função \( f(x) = \frac{1}{x} \) é injetiva em \( \mathbb{R}^* \), pois se \( \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \), então \( x_1 = x_2 \), já que os números não podem ser iguais a menos que as frações o sejam.

Uma função \( f: X \to Y \) é sobrejetiva se, para cada \( y \in Y \), existe pelo menos um \( x \in X \) tal que:

\[ f(x) = y \]

Em outras palavras, uma função é sobrejetiva se cada elemento do contradomínio \( Y \) for a imagem de pelo menos um elemento de \( X \).

Um exemplo de função sobrejetiva é a função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definida como \( f(x) = x^3 \). Vejamos porque essa função é sobrejetiva:

• Para cada \( y \in \mathbb{R} \), existe um \( x \in \mathbb{R} \) tal que \( x^3 = y \). Por exemplo, se \( y = 8 \), então \( x = 2 \), pois \( 2^3 = 8 \).
• Em geral, para cada valor de \( y \), existe um valor de \( x \) que satisfaz \( x^3 = y \), então a função é sobrejetiva.

Uma função é chamada não surjetiva se existe pelo menos um elemento \( y \in Y \) que não é imagem de nenhum elemento \( x \in X \). Em outras palavras, existem valores no contradomínio \( Y \) que não são imagem de nenhum elemento no domínio \( X \).

Exemplos de funções não surjetivas incluem:

• A função \( f(x) = x^2 \) definida em \( \mathbb{R} \). O contradomínio dessa função é \( \mathbb{R}^+ \) (os números reais não negativos), portanto, não existem valores de \( x \) que resultem em números negativos. Por exemplo, não existe nenhum \( x \) tal que \( f(x) = -1 \), logo a função não é surjetiva em \( \mathbb{R} \).
• A função \( f(x) = \sin(x) \), definida em \( \mathbb{R} \), tem como contradomínio o intervalo \( [-1, 1] \). Portanto, por exemplo, não existe nenhum valor de \( x \) que possa dar \( f(x) = 2 \), logo a função não é surjetiva em \( \mathbb{R} \).

Exercício 1: Determine se a função \( f(x) = 2x + 3 \) é surjetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \).

Solução: A função é surjetiva se, para todo \( y \in \mathbb{R} \), existe um \( x \in \mathbb{R} \) tal que \( f(x) = y \). Suponhamos que temos \( y \in \mathbb{R} \). Resolvendo a equação \( f(x) = 2x + 3 = y \), obtemos:

\[ 2x = y - 3 \]

\[ x = \frac{y - 3}{2} \]

Como \( x \) existe para todo \( y \in \mathbb{R} \), a função é surjetiva.

Exercício 2: Determine se a função \( f(x) = x^2 \) é surjetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \).

Solução: A função \( f(x) = x^2 \) não é surjetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \), pois não existem valores de \( x \) tais que \( f(x) = -1 \) (pois o quadrado de um número real é sempre não negativo). O contradomínio dessa função é \( \mathbb{R}^+ \), logo não é surjetiva em \( \mathbb{R} \).

Exercício 3: Verifique se a função \( f(x) = \sin(x) \) é surjetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \).

Solução: A função \( f(x) = \sin(x) \) não é surjetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \), pois o valor de \( \sin(x) \) é limitado ao intervalo \( [-1, 1] \). Portanto, não existem valores de \( x \) que possam resultar em \( \sin(x) = 2 \), logo não é surjetiva em \( \mathbb{R} \).

Exercício 4: Determine se a função \( f(x) = \ln(x) \) é surjetiva em \( (0, \infty) \) de \( (0, \infty) \) para \( \mathbb{R} \).

Solução: A função \( f(x) = \ln(x) \) é surjetiva de \( (0, \infty) \) para \( \mathbb{R} \), pois, para todo \( y \in \mathbb{R} \), existe um \( x \in (0, \infty) \) tal que \( \ln(x) = y \). De fato, se \( y \in \mathbb{R} \), podemos encontrar \( x = e^y \) tal que \( \ln(x) = y \).

Exercício 5: Verifique se a função \( f(x) = \frac{1}{x} \) é surjetiva em \( \mathbb{R}^* \) (todos os reais exceto 0) de \( \mathbb{R}^* \) para \( \mathbb{R}^* \).

Solução: A função \( f(x) = \frac{1}{x} \) é surjetiva em \( \mathbb{R}^* \), pois, para todo \( y \in \mathbb{R}^* \), existe um \( x \in \mathbb{R}^* \) tal que \( \frac{1}{x} = y \). De fato, se \( y \in \mathbb{R}^* \), podemos encontrar \( x = \frac{1}{y} \) tal que \( f(x) = y \).

Uma função \( f \) é chamada bijetiva se é tanto injetiva quanto surjetiva. Nesse caso, \( f \) estabelece uma correspondência biunívoca entre os elementos do domínio e os do contradomínio, e admite uma função inversa:

\[ f^{-1}: Y \to X \]

Tal inversa satisfaz a relação:

\[ f^{-1}(y) = x \quad \text{onde} \quad f(x) = y \]

A função inversa \( f^{-1} \) é definida para todo \( y \in Y \), e é tanto uma função inversa à direita quanto à esquerda, pois, para todo \( y \in Y \), satisfaz as seguintes identidades:

\[ f(f^{-1}(y)) = y \quad \text{e} \quad f^{-1}(f(x)) = x \]

Exemplo de Função Bijetiva

Consideremos a função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida como \( f(x) = 2x + 1 \). Verifiquemos que essa função é bijetiva:

• A função é injetiva: suponhamos que \( f(x_1) = f(x_2) \), ou seja, \( 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \). Resolvendo, obtemos \( x_1 = x_2 \), logo a função é injetiva.
• A função é surjetiva: para todo \( y \in \mathbb{R} \), podemos resolver a equação \( 2x + 1 = y \), obtendo \( x = \frac{y - 1}{2} \), que é um valor real para todo \( y \in \mathbb{R} \). Logo, a função é surjetiva.
• Como a função é tanto injetiva quanto surjetiva, ela é bijetiva e admite uma função inversa \( f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{2} \).

A função inversa \( f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{2} \) satisfaz as seguintes identidades:

• Para todo \( y \in \mathbb{R} \), \( f(f^{-1}(y)) = f\left(\frac{y - 1}{2}\right) = 2\left(\frac{y - 1}{2}\right) + 1 = y \), portanto, a relação \( f(f^{-1}(y)) = y \) é satisfeita.
• Para todo \( x \in \mathbb{R} \), \( f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 1) = \frac{(2x + 1) - 1}{2} = x \), portanto, a relação \( f^{-1}(f(x)) = x \) é satisfeita.

Exemplo de Função Não Bijetiva

Consideremos a função \( f(x) = x^2 \) definida em \( \mathbb{R} \). Esta função não é bijetiva, pois:

• Não é injetora: por exemplo, \( f(2) = 4 \) e \( f(-2) = 4 \), mas \( 2 \neq -2 \), logo a função não é injetora.
• Não é sobrejetora: por exemplo, não existe nenhum \( x \) tal que \( f(x) = -1 \), logo a função não é sobrejetora em \( \mathbb{R} \).
• Como não é nem injetora nem sobrejetora, ela não é bijetiva e, portanto, não admite uma função inversa em \( \mathbb{R} \).

Exercício 1: Determine se a função \( f(x) = 3x - 4 \) é bijetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \). Se for bijetiva, escreva a função inversa.

Solução: A função é injetora porque se \( f(x_1) = f(x_2) \), ou seja, \( 3x_1 - 4 = 3x_2 - 4 \), obtemos \( x_1 = x_2 \). Além disso, é sobrejetora porque para todo \( y \in \mathbb{R} \), podemos resolver \( 3x - 4 = y \) para obter \( x = \frac{y + 4}{3} \). A função é, portanto, bijetiva e sua inversa é \( f^{-1}(y) = \frac{y + 4}{3} \).

Exercício 2: Verifique se a função \( f(x) = x^2 \) é bijetiva de \( \mathbb{R}^+ \) para \( \mathbb{R}^+ \).

Solução: A função é injetora em \( \mathbb{R}^+ \) porque \( x_1^2 = x_2^2 \) implica \( x_1 = x_2 \) para \( x_1, x_2 \in \mathbb{R}^+ \). Também é sobrejetora em \( \mathbb{R}^+ \), pois para todo \( y \in \mathbb{R}^+ \), existe um \( x = \sqrt{y} \) tal que \( f(x) = y \). A função é, portanto, bijetiva em \( \mathbb{R}^+ \) e sua inversa é \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \).

Exercício 3: Determine se a função \( f(x) = x^3 \) é bijetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \). Escreva a função inversa.

Solução: A função \( f(x) = x^3 \) é tanto injetora (pois \( x_1^3 = x_2^3 \) implica \( x_1 = x_2 \)) quanto sobrejetora (para todo \( y \in \mathbb{R} \), existe um \( x = \sqrt[3]{y} \) tal que \( f(x) = y \)). A função é, portanto, bijetiva e sua inversa é \( f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \).

Exercícios Adicionais

Exercício 4: Verifique se a função \( f(x) = e^x \) é bijetiva de \( \mathbb{R} \) para \( (0, \infty) \).

Solução: A função \( f(x) = e^x \) é injetora (pois \( e^{x_1} = e^{x_2} \) implica \( x_1 = x_2 \)) e sobrejetora em \( (0, \infty) \), pois para todo \( y \in (0, \infty) \), existe um \( x = \ln(y) \) tal que \( f(x) = y \). A função é, portanto, bijetiva e sua inversa é \( f^{-1}(y) = \ln(y) \).

Exercício 5: Determine se a função \( f(x) = x + 2 \) é bijetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \).

Solução: A função \( f(x) = x + 2 \) é bijetiva, pois é tanto injetora quanto sobrejetora. A função inversa é \( f^{-1}(y) = y - 2 \).

A restrição de uma função é um conceito de fundamental importância, que permite restringir o domínio de uma função a um subconjunto específico. Esta operação é particularmente útil quando se deseja garantir que uma função seja injetora e sobrejetora, condições necessárias para a invertibilidade. Por exemplo, considere a função quadrática \( f(x) = x^2 \), que não é injetora em \( \mathbb{R} \), pois para cada \( y > 0 \) existem duas pré-imagens \( x_1 = \sqrt{y} \) e \( x_2 = -\sqrt{y} \). No entanto, restringindo o domínio a \( [0, +\infty) \), obtemos uma função injetora, permitindo assim a existência de uma função inversa bem definida. 

Exemplo de Restrição: Função Quadrática

Considere a função \( f(x) = x^2 \) definida em \( \mathbb{R} \). Esta função não é injetora, pois existem dois valores distintos \( x_1 \) e \( x_2 \) tais que \( f(x_1) = f(x_2) \). Por exemplo, \( f(2) = f(-2) = 4 \). No entanto, se restringirmos o domínio de \( f(x) \) ao subconjunto \( [0, +\infty) \), a função se torna injetora. De fato, para \( x_1, x_2 \in [0, +\infty) \), a igualdade \( f(x_1) = f(x_2) \) implica \( x_1 = x_2 \), garantindo que a função seja agora injetora.

A restrição da função em \( [0, +\infty) \) torna a função injetora, e podemos definir sua função inversa:

\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y}, \quad y \geq 0. \]

Outros Exemplos de Restrição

A restrição de uma função pode ser aplicada em vários contextos para simplificar o comportamento da função ou adaptá-la a um contexto específico:

• Se \( f(x) = \sin(x) \) em \( \mathbb{R} \), podemos restringir o domínio a \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) para torná-la injetora. Nesse caso, a função inversa será \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), com \( y \in [-1, 1] \).
• Se \( f(x) = \tan(x) \), definida em \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), a função é injetora e sobrejetora nesse domínio, e sua inversa é \( f^{-1}(y) = \arctan(y) \).

Exercício 1: Determine se a função \( f(x) = x^3 \) é injetora em \( \mathbb{R} \). Em seguida, restrinja o domínio de forma que a função seja bijetora e encontre sua função inversa.

Solução: A função \( f(x) = x^3 \) já é injetora em \( \mathbb{R} \), pois \( f(x_1) = f(x_2) \) implica \( x_1 = x_2 \). Não é necessário fazer nenhuma restrição, e a função inversa é \( f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \).

Exercício 2: A função \( f(x) = x^2 \) não é injetora em \( \mathbb{R} \). Restringa o domínio a um intervalo em que a função seja injetora e encontre a função inversa.

Solução: Para tornar a função injetora, restringimos o domínio a \( [0, +\infty) \). Nesse caso, a função inversa será \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \), com \( y \geq 0 \).

Exercício 3: Considere a função \( f(x) = \ln(x) \) definida em \( (0,+\infty) \). Restringa o domínio a \( [1,+\infty) \) e escreva a função inversa.

Solução: A função logaritmo é injetora e sobrejetora em \( (0,+\infty) \) (com contradomínio \( \mathbb{R} \)). Se restringirmos o domínio a \( [1,+\infty) \), a imagem torna-se \( [0,+\infty) \) (pois \( \ln(1) = 0 \) e \( \ln(x) \) é estritamente crescente). Assim, a função inversa é:

\[ f^{-1}(y)=e^y, \quad y\in [0,+\infty). \]

Exercício 4: A função \( f(x) = \sin(x) \) não é injetora em \( \mathbb{R} \). Restringa o domínio a um intervalo em que a função seja injetora e encontre a função inversa.

Solução: A função \( f(x) = \sin(x) \) é injetora em \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \). A função inversa será \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), com \( y \in [-1, 1] \).

A restrição de uma função permite manipular o domínio de uma função para obter propriedades desejadas, como injetividade, sobrejetividade ou bijetividade.