Definição de Função (Matemática): Fórmulas, Propriedades e Exercícios Resolvidos

Uma função é uma lei entre dois conjuntos, a qual associa a cada elemento do primeiro conjunto (o domínio) um único elemento do segundo conjunto (o contradomínio). Neste artigo, analisaremos a definição formal de domínio, contradomínio, o conjunto imagem e as principais propriedades como injetividade, sobrejetividade e bijetividade.

Índice

• Definição de Função
• Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem
• Exemplos de Funções
• Propriedades das Funções
• Funções Injetivas
• Funções Não Injetivas
• Exercícios sobre Funções Injetivas
• Funções Sobrejetivas
• Funções Não Sobrejetivas
• Exercícios sobre Funções Sobrejetivas
• Alguns Exemplos
• Funções Bijetivas
• Função Inversa
• Exercícios sobre Funções Bijetivas
• Restrição de uma Função
• Exercícios sobre Restrição de Funções

Formalmente, uma função é uma lei (ou aplicação) que associa a cada elemento de um conjunto \(X\) (denominado domínio) um único elemento de outro conjunto \(Y\) (denominado contradomínio). A notação utilizada para expressar uma função é a seguinte:

\[ f: X \to Y \quad , \quad x \mapsto f(x) \]

Ou então:

\[ \begin{align*} f \, : \, & X \longrightarrow Y \\ & x \longmapsto f(x) \end{align*} \]

Desta forma, afirma-se que a função \(f\) está definida no conjunto \(X\) e os valores que assume pertencem ao conjunto \(Y\). Com o termo \(f(x)\) referimo-nos ao elemento \(y \in Y\) que está associado a cada \(x \in X\), sendo a função \(f\) que especifica a lei de correspondência entre os elementos de \(X\) e os de \(Y\).

Como mencionado anteriormente, o domínio de uma função \(f\) é o conjunto \(X\) constituído por todos os elementos para os quais a função está definida. Por exemplo, a função:

\[ f \, : \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad x \mapsto \frac{1}{x^2+1} \]

está definida em toda a reta real. Portanto \( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \). O conjunto imagem é, por sua vez, o conjunto de valores assumidos pela função, que neste caso particular é \( \text{Im}(f) = (0, 1] \).

O contradomínio é o conjunto \(Y\) que contém todos os valores que podem ser alcançados através da função \(f\), embora nem todos estes valores devam necessariamente ser efetivamente obtidos. O conjunto imagem (ou imagem) de uma função \(f\) é o conjunto de elementos de \(Y\) que são efetivamente alcançados pela função, e define-se como:

\[ \text{Im}(f) = f(X) = \{ y \in Y \mid \exists x \in X \, : \, f(x) = y \} \]

Um exemplo clássico de função é a função linear, que representa uma reta no plano cartesiano descrita pela equação da reta, e que pode ser escrita como:

\[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad f(x) = mx + q \]

onde \(m\) e \(q\) são constantes reais. Outro exemplo importante é a função quadrática, que descreve uma parábola e expressa-se como:

\[ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad , \quad g(x) = ax^2 + bx + c \quad , \quad a \neq 0 \]

As funções possuem algumas propriedades fundamentais que permitem caracterizá-las de modo mais preciso.

Uma função \( f: X \to Y \) diz-se injetiva se a valores distintos correspondem imagens distintas. Por outras palavras, se dois elementos de \( X \) são distintos, as suas imagens através de \( f \) também são distintas. Em termos matemáticos, a função é injetiva se:

\[ x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2) \]

Outra maneira de dizer que uma função é injetiva é que, se dois elementos são mapeados para o mesmo valor, devem ser iguais. Ou seja:

\[ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 \]

Um exemplo de função injetiva é a função \( f \, : \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida como \( f(x) = x^3 \). Vejamos por que esta função é injetiva:

• Se \( x_1 \neq x_2 \), então \( x_1^3 \neq x_2^3 \), o que significa que as imagens de \( x_1 \) e \( x_2 \) são distintas.
• Por outras palavras, para cada par de valores distintos \( x_1 \) e \( x_2 \) pertencentes a \( \mathbb{R} \), os seus cubos nunca serão iguais.

Nem todas as funções são injetivas. Uma função diz-se não injetiva quando existem pelo menos dois elementos distintos de \( X \) que têm a mesma imagem em \( Y \). Por outras palavras, existem \( x_1 \neq x_2 \) tais que \( f(x_1) = f(x_2) \).

Exemplos de funções não injetivas incluem:

• A função quadrática \( f(x) = x^2 \), que não é injetiva em \( \mathbb{R} \). Com efeito, \( f(2) = f(-2) = 4 \), mas \( 2 \neq -2 \), pelo que \( f(x) = x^2 \) não é injetiva.
• A função seno \( f(x) = \sin(x) \), que não é injetiva em \( \mathbb{R} \), uma vez que \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), mas \( 0 \neq \pi \), pelo que não é injetiva.

Exercício 1: Determina se a função \( f(x) = 2x + 3 \) é injetiva.

Solução: A função é injetiva se, para cada par de valores distintos \( x_1 \) e \( x_2 \), as imagens \( f(x_1) \) e \( f(x_2) \) são distintas. Suponhamos que \( f(x_1) = f(x_2) \), isto é:

\[ 2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \]

Subtraindo 3 a ambos os membros obtemos:

\[ 2x_1 = 2x_2 \]

Dividindo por 2:

\[ x_1 = x_2 \]

Uma vez que \( x_1 = x_2 \), a função é injetiva.

Exercício 2: Determina se a função \( f(x) = x^2 \) é injetiva em \( \mathbb{R} \).

Solução: A função \( f(x) = x^2 \) não é injetiva em \( \mathbb{R} \). Com efeito, consideremos os valores \( x_1 = -2 \) e \( x_2 = 2 \). Ambos satisfazem \( f(x_1) = f(x_2) \), ou seja:

\[ (-2)^2 = 2^2 = 4 \]

Mas \( -2 \neq 2 \), pelo que a função não é injetiva. A função é injetiva apenas se definida em \( \mathbb{R}^+ \) ou \( \mathbb{R}^- \), uma vez que nestes domínios cada número tem um único quadrado positivo.

Exercício 3: Verifica se a função \( f(x) = \sin(x) \) é injetiva em \( \mathbb{R} \).

Solução: A função \( f(x) = \sin(x) \) não é injetiva em \( \mathbb{R} \), uma vez que existem múltiplos valores de \( x \) que dão o mesmo resultado. Por exemplo, \( \sin(0) = \sin(\pi) = 0 \), mas \( 0 \neq \pi \). Portanto a função não é injetiva em \( \mathbb{R} \). Se limitássemos o domínio da função, por exemplo a \( \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] \), a função seria injetiva.

Exercício 4: Determina se a função \( f(x) = \ln(x) \) é injetiva no domínio \( (0, \infty) \).

Solução: A função \( f(x) = \ln(x) \) é injetiva no domínio \( (0, \infty) \), uma vez que, se \( \ln(x_1) = \ln(x_2) \), então necessariamente \( x_1 = x_2 \). Isto é verdade para todos os valores de \( x_1 \) e \( x_2 \) pertencentes ao domínio \( (0, \infty) \).

Exercício 5: Verifica se a função \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) é injetiva em \( \mathbb{R}^* \) (todos os reais exceto 0).

Solução: A função \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) é injetiva em \( \mathbb{R}^* \), porque se \( \displaystyle \frac{1}{x_1} = \displaystyle \frac{1}{x_2} \), então \( x_1 = x_2 \), dado que os números não podem ser iguais a menos que as frações o sejam.

Uma função \( f: X \to Y \) é sobrejetiva se, para cada \( y \in Y \), existe pelo menos um \( x \in X \) tal que:

\[ f(x) = y \]

Por outras palavras, uma função é sobrejetiva se cada elemento do contradomínio \( Y \) é a imagem de pelo menos um elemento de \( X \).

Um exemplo de função sobrejetiva é a função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definida como \( f(x) = x^3 \). Vejamos por que esta função é sobrejetiva:

• Para cada \( y \in \mathbb{R} \), existe um \( x \in \mathbb{R} \) tal que \( x^3 = y \). Por exemplo, se \( y = 8 \), então \( x = 2 \) uma vez que \( 2^3 = 8 \).
• Em geral, para cada valor de \( y \), existe um valor \( x \) que satisfaz \( x^3 = y \), pelo que a função é sobrejetiva.

Uma função diz-se não sobrejetiva se existe pelo menos um elemento \( y \in Y \) que não é imagem de nenhum elemento \( x \in X \). Por outras palavras, existem valores no contradomínio \( Y \) que não são imagem de nenhum elemento no domínio \( X \).

Exemplos de funções não sobrejetivas incluem:

• A função \( f(x) = x^2 \) definida em \( \mathbb{R} \). O contradomínio desta função é \( \mathbb{R}^+ \) (os números reais não negativos), pelo que não há valores de \( x \) que deem resultados negativos. Por exemplo, não existe nenhum \( x \) tal que \( f(x) = -1 \), pelo que a função não é sobrejetiva em \( \mathbb{R} \).
• A função \( f(x) = \sin(x) \), definida em \( \mathbb{R} \), tem como contradomínio o intervalo \( [-1, 1] \). Portanto, por exemplo, não existe nenhum valor de \( x \) que possa dar \( f(x) = 2 \), pelo que a função não é sobrejetiva em \( \mathbb{R} \).

Exercício 1: Determina se a função \( f(x) = 2x + 3 \) é sobrejetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \).

Solução: A função é sobrejetiva se para cada \( y \in \mathbb{R} \), existe um \( x \in \mathbb{R} \) tal que \( f(x) = y \). Suponhamos que temos \( y \in \mathbb{R} \). Resolvendo a equação \( f(x) = 2x + 3 = y \), obtemos:

\[ 2x = y - 3 \]

\[ x = \frac{y - 3}{2} \]

Uma vez que \( x \) existe para cada \( y \in \mathbb{R} \), a função é sobrejetiva.

Exercício 2: Determina se a função \( f(x) = x^2 \) é sobrejetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \).

Solução: A função \( f(x) = x^2 \) não é sobrejetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \), porque não existem valores de \( x \) tais que \( f(x) = -1 \) (uma vez que o quadrado de um número real é sempre não negativo). O contradomínio desta função é \( \mathbb{R}^+ \), pelo que não é sobrejetiva em \( \mathbb{R} \).

Exercício 3: Verifica se a função \( f(x) = \sin(x) \) é sobrejetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \).

Solução: A função \( f(x) = \sin(x) \) não é sobrejetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \), porque o valor de \( \sin(x) \) está limitado ao intervalo \( [-1, 1] \). Portanto não existem valores de \( x \) que possam dar \( \sin(x) = 2 \), pelo que não é sobrejetiva em \( \mathbb{R} \).

Exercício 4: Determina se a função \( f(x) = \ln(x) \) é sobrejetiva em \( \mathbb{R} \).

Solução: A função \( f(x) = \ln(x) \) é sobrejetiva de \( (0, \infty) \) para \( \mathbb{R} \), uma vez que para cada \( y \in \mathbb{R} \), existe um \( x \in (0, \infty) \) tal que \( \ln(x) = y \). Com efeito, se \( y \in \mathbb{R} \), podemos encontrar \( x = e^y \) tal que \( \ln(x) = y \).

Exercício 5: Verifica se a função \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) é sobrejetiva em \( \mathbb{R}^* \) (todos os reais exceto 0) de \( \mathbb{R}^* \) para \( \mathbb{R}^* \).

Solução: A função \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{x} \) é sobrejetiva em \( \mathbb{R}^* \), uma vez que para cada \( y \in \mathbb{R}^* \), existe um \( x \in \mathbb{R}^* \) tal que \( \displaystyle \frac{1}{x} = y \). Com efeito, se \( y \in \mathbb{R}^* \), podemos encontrar \( x = \displaystyle \frac{1}{y} \) tal que \( f(x) = y \).

Uma função \( f \) diz-se bijetiva se é tanto injetiva como sobrejetiva. Neste caso, \( f \) estabelece uma correspondência biunívoca entre os elementos do domínio e os do contradomínio, e admite uma função inversa:

\[ f^{-1}: Y \to X \]

Tal inversa satisfaz a relação:

\[ f^{-1}(y) = x \quad \text{onde} \quad f(x) = y \]

A função inversa \( f^{-1} \) está definida para cada \( y \in Y \), e é tanto uma função inversa direita como esquerda, uma vez que para cada \( y \in Y \) satisfaz as seguintes identidades:

\[ f(f^{-1}(y)) = y \quad \text{e} \quad f^{-1}(f(x)) = x \]

Exemplo de Função Bijetiva

Consideremos a função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida como \( f(x) = 2x + 1 \). Verifiquemos que esta função é bijetiva:

• A função é injetiva: suponhamos que \( f(x_1) = f(x_2) \), isto é \( 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \). Resolvendo, obtemos \( x_1 = x_2 \), pelo que a função é injetiva.
• A função é sobrejetiva: para cada \( y \in \mathbb{R} \), podemos resolver a equação \( 2x + 1 = y \), obtendo \( x = \displaystyle \frac{y - 1}{2} \), que é um valor real para cada \( y \in \mathbb{R} \). Portanto, a função é sobrejetiva.
• Uma vez que a função é tanto injetiva como sobrejetiva, também é bijetiva e admite uma função inversa \( f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y - 1}{2} \).

A função inversa \( f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y - 1}{2} \) satisfaz as seguintes identidades:

• Para cada \( y \in \mathbb{R} \), \( f(f^{-1}(y)) = f\left(\frac{y - 1}{2}\right) = 2\left(\displaystyle \frac{y - 1}{2}\right) + 1 = y \), pelo que a relação \( f(f^{-1}(y)) = y \) é satisfeita.
• Para cada \( x \in \mathbb{R} \), \( f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 1) = \displaystyle \frac{(2x + 1) - 1}{2} = x \), pelo que a relação \( f^{-1}(f(x)) = x \) é satisfeita.

Exemplo de Função Não Bijetiva

Consideremos a função \( f(x) = x^2 \) definida em \( \mathbb{R} \). Esta função não é bijetiva, uma vez que:

• Não é injetiva: por exemplo, \( f(2) = 4 \) e \( f(-2) = 4 \), mas \( 2 \neq -2 \), pelo que a função não é injetiva.
• Não é sobrejetiva: por exemplo, não existe nenhum \( x \) tal que \( f(x) = -1 \), pelo que a função não é sobrejetiva em \( \mathbb{R} \).
• Uma vez que não é nem injetiva nem sobrejetiva, não é bijetiva e portanto não admite uma função inversa em \( \mathbb{R} \).

Exercício 1: Determina se a função \( f(x) = 3x - 4 \) é bijetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \). Se é bijetiva, escreve a função inversa.

Solução: A função é injetiva porque se \( f(x_1) = f(x_2) \), isto é \( 3x_1 - 4 = 3x_2 - 4 \), obtemos \( x_1 = x_2 \). Além disso, é sobrejetiva porque para cada \( y \in \mathbb{R} \), podemos resolver \( 3x - 4 = y \) para obter \( x = \displaystyle \frac{y + 4}{3} \). A função é portanto bijetiva e a sua inversa é \( f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y + 4}{3} \).

Exercício 2: Verifica se a função \( f(x) = x^2 \) é bijetiva de \( \mathbb{R}^+ \) para \( \mathbb{R}^+ \).

Solução: A função é injetiva em \( \mathbb{R}^+ \) porque \( x_1^2 = x_2^2 \) implica \( x_1 = x_2 \) para \( x_1, x_2 \in \mathbb{R}^+ \). Também é sobrejetiva em \( \mathbb{R}^+ \), uma vez que para cada \( y \in \mathbb{R}^+ \), existe um \( x = \sqrt{y} \) tal que \( f(x) = y \). A função é portanto bijetiva em \( \mathbb{R}^+ \) e a sua inversa é \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \).

Exercício 3: Determina se a função \( f(x) = x^3 \) é bijetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \). Escreve a função inversa.

Solução: A função \( f(x) = x^3 \) é tanto injetiva (uma vez que \( x_1^3 = x_2^3 \) implica \( x_1 = x_2 \)) como sobrejetiva (para cada \( y \in \mathbb{R} \), existe um \( x = \sqrt[3]{y} \) tal que \( f(x) = y \)). A função é portanto bijetiva e a sua inversa é \( f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \).

Exercícios Adicionais

Exercício 4: Verifica se a função \( f(x) = e^x \) é bijetiva de \( \mathbb{R} \) para \( (0, \infty) \).

Solução: A função \( f(x) = e^x \) é injetiva (uma vez que \( e^{x_1} = e^{x_2} \) implica \( x_1 = x_2 \)) e sobrejetiva em \( (0, \infty) \), uma vez que para cada \( y \in (0, \infty) \), existe um \( x = \ln(y) \) tal que \( f(x) = y \). A função é portanto bijetiva e a sua inversa é \( f^{-1}(y) = \ln(y) \).

Exercício 5: Determina se a função \( f(x) = x + 2 \) é bijetiva de \( \mathbb{R} \) para \( \mathbb{R} \).

Solução: A função \( f(x) = x + 2 \) é bijetiva, uma vez que é tanto injetiva como sobrejetiva. A função inversa é \( f^{-1}(y) = y - 2 \).

A restrição de uma função é um conceito de importância fundamental, que permite restringir o domínio de uma função a um subconjunto específico. Esta operação é particularmente útil quando se deseja garantir que uma função seja injetiva e sobrejetiva, condições necessárias para a invertibilidade. Por exemplo, consideremos a função quadrática \( f(x) = x^2 \), a qual não é injetiva em \( \mathbb{R} \) uma vez que para cada \( y > 0 \) existem duas pré-imagens \( x_1 = \sqrt{y} \) e \( x_2 = -\sqrt{y} \). Contudo, restringindo o domínio a \( [0, +\infty) \), obtemos uma função injetiva, permitindo assim a existência de uma função inversa definida.

Exemplo de Restrição: Função Quadrática

Consideremos a função \( f(x) = x^2 \) definida em \( \mathbb{R} \). Esta função não é injetiva, porque existem dois valores distintos \( x_1 \) e \( x_2 \) tais que \( f(x_1) = f(x_2) \). Por exemplo, \( f(2) = f(-2) = 4 \). Contudo, se restringirmos o domínio de \( f(x) \) ao subconjunto \( [0, +\infty) \), a função torna-se injetiva. Com efeito, para \( x_1, x_2 \in [0, +\infty) \), a igualdade \( f(x_1) = f(x_2) \) implica \( x_1 = x_2 \), garantindo que a função seja agora injetiva.

A restrição da função a \( [0, +\infty) \) torna a função injetiva, e podemos definir a sua função inversa:

\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y}, \quad y \geq 0. \]

Outros Exemplos de Restrição

A restrição de uma função pode ser aplicada em vários contextos para simplificar o comportamento da função ou para adaptá-la a um contexto específico:

• Se \( f(x) = \sin(x) \) em \( \mathbb{R} \), podemos restringir o domínio a \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) para torná-la injetiva. Neste caso, a função inversa será \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), com \( y \in [-1, 1] \).
• Se \( f(x) = \tan(x) \), definida em \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), a função é injetiva e sobrejetiva neste domínio, e a sua inversa é \( f^{-1}(y) = \arctan(y) \).

Exercício 1: Determina se a função \( f(x) = x^3 \) é injetiva em \( \mathbb{R} \). Em seguida, restringe o domínio de modo que a função seja bijetiva e encontra a sua função inversa.

Solução: A função \( f(x) = x^3 \) já é injetiva em \( \mathbb{R} \), uma vez que \( f(x_1) = f(x_2) \) implica \( x_1 = x_2 \). Não é necessário fazer nenhuma restrição, e a função inversa é \( f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y} \).

Exercício 2: A função \( f(x) = x^2 \) não é injetiva em \( \mathbb{R} \). Restringe o domínio a um intervalo no qual a função seja injetiva e encontra a função inversa.

Solução: Para tornar a função injetiva, restringimos o domínio a \( [0, +\infty) \). Neste caso, a função inversa será \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \), com \( y \geq 0 \).

Exercício 3: Considera a função \( f(x) = \ln(x) \) definida em \( (0,+\infty) \). Restringe o domínio a \( [1,+\infty) \) e escreve a função inversa.

Solução: A função logarítmica é injetiva e sobrejetiva em \( (0,+\infty) \) (com contradomínio \( \mathbb{R} \)). Se restringirmos o domínio a \( [1,+\infty) \), a imagem torna-se \( [0,+\infty) \) (uma vez que \( \ln(1)=0 \) e \( \ln(x) \) é estritamente crescente). Consequentemente, a função inversa é:

\[ f^{-1}(y)=e^y, \quad y\in [0,+\infty). \]

Exercício 4: A função \( f(x) = \sin(x) \) não é injetiva em \( \mathbb{R} \). Restringe o domínio a um intervalo no qual a função seja injetiva e encontra a função inversa.

Solução: A função \( f(x) = \sin(x) \) é injetiva em \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \). A função inversa será \( f^{-1}(y) = \arcsin(y) \), com \( y \in [-1, 1] \).

A restrição de uma função permite manipular o domínio de uma função para obter propriedades desejadas como a injetividade, a sobrejetividade ou a bijetividade.