Em análise matemática, uma sequência é uma lei que associa a cada número natural \( n \in \mathbb{N} \) um elemento \( a_n \) pertencente a um conjunto \( X \). Em outros termos, uma sequência é uma função definida no conjunto dos números naturais com valores em \( X \).
Índice
Definição
Formalmente, uma sequência é definida como uma função:
\begin{align} a \,\, : \,\, & \mathbb{N} \rightarrow X \\ & n \rightarrow a(n) \end{align}
Nesta definição, \( \mathbb{N} \) indica o conjunto dos números naturais, ou seja, \( \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \} \). O conjunto \( X \) representa o conjunto de chegada, que pode ser o conjunto dos números reais \( \mathbb{R} \), dos números complexos \( \mathbb{C} \), dos números inteiros \( \mathbb{Z} \) ou outro conjunto numérico ou não numérico.
A função \( a \) associa a cada número natural \( n \) um elemento \( a(n) \) pertencente ao conjunto \( X \). O valor \( a(n) \) é chamado de termo de ordem \( n \) da sequência e é geralmente denotado por \( a_n \), ou seja, \( a_n = a(n) \). O termo \( a_n \) indica, portanto, o valor assumido pela sequência correspondente ao índice \( n \).
Uma sequência pode ser representada explicitamente através da lista ordenada de seus termos:
\[ a_0, a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots \]
A notação mais utilizada para indicar uma sequência é \( \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) ou, alternativamente, \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \). Ambas as escritas expressam o fato de que a sequência é composta pelos termos \( a_n \) para cada \( n \in \mathbb{N} \).
Quando o conjunto \( X \) é constituído pelos números reais \( \mathbb{R} \) ou complexos \( \mathbb{C} \), a sequência é chamada de numérica. Mais precisamente, se \( X = \mathbb{R} \), a sequência é chamada sequência real, enquanto se \( X = \mathbb{C} \), fala-se de sequência complexa.
Por exemplo, a sequência definida por \( a_n = \frac{1}{n} \) com \( n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} \) é uma sequência real, pois cada termo pertence ao conjunto dos números reais.
As sequências também podem ter valores em conjuntos não numéricos. É possível definir sequências de vetores, matrizes ou elementos de um alfabeto, dependendo do contexto de estudo.
Do ponto de vista gráfico, as sequências numéricas podem ser representadas associando a cada índice \( n \) o valor correspondente do termo \( a_n \). Esta representação permite visualizar o comportamento da sequência.
Por exemplo, a sequência definida por \( a_n = n^2 \) pode ser representada graficamente como uma série de pontos, cujos valores aumentam seguindo um crescimento quadrático:
\[ 0, 1, 4, 9, 16, 25, \dots \]
Exemplos
Sucessões Recursivas
Uma sucessão recursiva é definida especificando os valores iniciais e uma regra que permite calcular cada termo sucessivo a partir do anterior. Por exemplo, o fatorial de um número natural \( n \) é definido como:
\[ 0! = 1 \quad, \quad n! = n\cdot (n-1)! \]
De forma semelhante, a potência de 2 também pode ser definida recursivamente:
\[ 2^0 = 1 \quad , \quad 2^n = 2 \cdot 2^{n-1} \]
Mais geralmente, para cada \( 0 \neq x \in \mathbb{R} \), temos:
\[ x^0 = 1 \quad , \quad x^n = x\cdot x^{n-1} \]
Outro exemplo comum é a sucessão de Fibonacci, definida como:
\[ F_0 = 0, \quad F_1 = 1 \quad , \quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \]
Define-se sequência finita como uma sequência constituída por um número finito de termos, ou seja, se existe um \( N \in \mathbb{N} \) tal que \( a_n \) é definido apenas para \( n \leq N \). Por outro lado, fala-se de sequência infinita se \( a_n \) é definido para todo \( n \in \mathbb{N} \).
As sequências infinitas são as mais utilizadas em análise matemática e representam uma ferramenta essencial para o estudo das séries, das funções e dos limites.
Sequências Monótonas
Uma sequência é dita monótona se seus termos mantêm um comportamento constante, ou seja, se são não decrescentes ou não crescentes. A monotonicidade de uma sequência pode manifestar-se de duas formas distintas.
Sequência Crescente
Define-se sequência crescente como uma sequência em que cada termo é menor ou igual ao termo seguinte. Formalmente, a sequência \( \{ a_n \} \) é crescente se:
\[ a_n \leq a_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Se a desigualdade for estrita, ou seja, se \( a_n < a_{n+1} \) para todo \( n \), a sequência é dita estritamente crescente.
Exemplo: A sequência \( a_n = n \) é estritamente crescente, pois:
\[ 0 < 1 < 2 < 3 < \dots \]
Sequência Decrescente
Uma sequência é dita decrescente se cada termo é maior ou igual ao seguinte. Formalmente:
\[ a_n \geq a_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Se a desigualdade for estrita, ou seja, se \( a_n > a_{n+1} \) para todo \( n \), a sequência é dita estritamente decrescente.
Um exemplo de sequência decrescente é \( a_n = \frac{1}{n} \), que assume os valores:
\[ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \]
Sequências Limitadas
Uma sequência \( \{ a_n \} \) é dita limitada se existe um número real \( M \) tal que:
\[ |a_n| \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Neste caso, \( M \) é chamado majorante da sequência. Se, por outro lado, vale:
\[ m \leq a_n \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
então a sequência é dita limitada superior e inferiormente, onde \( M \) é um majorante e \( m \) um minorante.
Por exemplo, a sequência \( a_n = (-1)^n \) é limitada, pois seus termos oscilam entre \( -1 \) e \( 1 \).
Sequências Ilimitadas
Uma sequência é dita ilimitada se seus termos crescem ou decrescem indefinidamente. Formalmente, \( \{ a_n \} \) é ilimitada se:
\[ \forall M \in \mathbb{R}, \; \exists n \in \mathbb{N} \; \text{tal que} \; |a_n| > M \]
Um exemplo é a sequência \( a_n = n \), que não é limitada superiormente.
Sequências Oscilantes
Define-se como oscilante uma sequência cujos termos não tendem a se estabilizar nem a crescer ou decrescer de modo monótono, mas variam continuamente.
Por exemplo, a sequência \( a_n = (-1)^n \) oscila entre \( 1 \) e \( -1 \) sem convergir para um valor definido.
Esta sequência é tanto oscilante quanto limitada.
Sequências Constantes
Uma sequência constante é um caso particular de sequência monótona em que todos os termos são iguais. Formalmente, uma sequência é constante se:
\[ a_n = c \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Um exemplo simples é a sequência \( a_n = 5 \), que produz a lista:
\[ 5, 5, 5, 5, \dots \]
Esta sequência é monótona crescente e decrescente ao mesmo tempo, e também é limitada.
Sequências Periódicas
Uma sequência é dita periódica se existe um número natural \( T > 0 \) tal que:
\[ a_{n+T} = a_n \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
O menor valor de \( T \) para o qual esta propriedade se verifica é chamado período da sequência.
Um exemplo de sequência periódica é \( a_n = \sin\left(\frac{2\pi n}{3}\right) \), que tem período 3.