Seja \( a \neq 0 \) e seja \( n \in \mathbb{N} \). A potência \( n \)-ésima de \( a \), denotada pelo símbolo \( a^n \), é definida como o produto de \( a \) por si mesmo \( n \) vezes. Em termos matemáticos, tal produto expressa-se como:
\[ a^n := \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ vezes}} \]
O número \( a \) é chamado de base da potência, \( n \) é o expoente da potência.
Índice
- Propriedades das Potências
- Potência com Expoente Zero
- Potências com Expoente Negativo
- Potências com Expoente Fracionário
- Exercícios sobre as Propriedades das Potências
Propriedades das Potências
Sejam \( a \) e \( b \) números reais diferentes de zero, e sejam \( m \) e \( n \) números inteiros. As potências gozam das seguintes propriedades fundamentais:
Produto de potências com a mesma base:
O produto de duas potências com a mesma base é uma potência que tem por base a mesma base e como expoente a soma dos expoentes:
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
Por definição:
\[ a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ vezes}} \quad , \quad a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ vezes}} \]
Portanto, multiplicando as duas potências:
\[ a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ vezes}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ vezes}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m+n \text{ vezes}} = a^{m+n} \]
Divisão de potências com a mesma base:
O resultado da divisão de duas potências com a mesma base é uma potência que tem por base a mesma base e por expoente a diferença dos expoentes.
\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad \text{com } a \neq 0 \]
Por definição:
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ vezes}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ vezes}}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{(m-n) \text{ vezes}} = a^{m-n}. \]
Potência de uma potência:
A potência de uma potência é uma potência que tem por base a mesma base e por expoente o produto dos expoentes:
\[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \]
Por definição:
\[ (a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \dots \cdot a^m}_{n \text{ vezes}} = \underbrace{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}_{m \cdot n \text{ vezes}} = a^{m \cdot n}. \]
Produto de potências com bases diferentes mas mesmo expoente:
A potência de um produto é o produto das potências dos fatores individuais:
\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]
Por definição:
\[ (a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \dots \cdot (a \cdot b)}_{n \text{ vezes}} = (\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ vezes}}) \cdot (\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ vezes}}) = a^n \cdot b^n. \]
Quociente de potências com bases diferentes mas mesmo expoente:
A potência de um quociente é o quociente das potências do numerador e do denominador:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad \text{com } b \neq 0 \]
Por definição:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \dots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ vezes}} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ vezes}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ vezes}}} = \frac{a^n}{b^n}. \]
Potência com Expoente Zero
Quando estendemos uma definição (neste caso as potências) a novos casos (como o expoente zero), queremos que as propriedades já válidas nos casos conhecidos continuem a valer também nos novos casos.
Para \(a \neq 0\) e para expoentes positivos, sabemos que vale a propriedade fundamental:
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
Consideremos um número natural qualquer \(n\). Pela propriedade das potências deve valer:
\[ a^n \cdot a^{-n} = a^{n+(-n)} = a^0 \]
Mas também sabemos que:
\[ a^n \cdot a^{-n} = a^n \cdot \frac{1}{a^n} = 1 \]
Portanto, pela propriedade transitiva \( a^0 = 1 \).
Esta definição mantém coerentes todas as propriedades das potências. Por exemplo:
\[ a^m \cdot a^0 = a^m \cdot 1 = a^m = a^{m+0} \]
\[ \frac{a^m}{a^m} = a^{m-m} = a^0 = 1 \]
A definição \(a^0 = 1\) não é arbitrária, mas é a única que garante a coerência das regras algébricas das potências.
Potências com Expoente Negativo
Um número elevado a um expoente negativo é igual ao inverso da potência com expoente positivo:
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{com } a \neq 0 \]
Esta definição deriva da necessidade de manter a coerência com a propriedade da divisão de potências. Se queremos que sempre valha \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), então para \(m < n\) obtemos um expoente negativo no resultado.
Por definição de divisão:
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}} = \frac{1}{a^{-(m-n)}} = a^{-(n-m)} = a^{m-n} \]
Esta definição garante que todas as propriedades das potências se estendam coerentemente aos expoentes negativos. Por exemplo:
\[ a^m \cdot a^{-n} = a^m \cdot \frac{1}{a^n} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} = a^{m+(-n)} \]
Potências com Expoente Fracionário
Para estender a definição de potência aos expoentes fracionários, devemos manter a coerência com as propriedades já estabelecidas para os expoentes inteiros.
Por definição, a expressão \(a^{\frac{n}{m}}\) indica a raiz \(m\)-ésima de \(a^n\), ou seja:
\[ a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} \quad \text{com } a \geq 0, \, m > 0 \]
Esta definição pode ser equivalentemente escrita como:
\[ a^{\frac{n}{m}} = (\sqrt[m]{a})^n \]
A definição não é arbitrária mas deriva da necessidade de preservar a propriedade fundamental das potências. Se queremos que continue a valer \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\), então para o expoente \(\frac{1}{m}\) deve necessariamente valer:
\[ (a^{\frac{1}{m}})^m = a^{\frac{1}{m} \cdot m} = a^1 = a \]
Isto significa que \(a^{\frac{1}{m}}\) é aquele número que, elevado à potência \(m\), devolve \(a\). Por definição de raiz, isto é exatamente \(\sqrt[m]{a}\).
Todas as propriedades das potências estendem-se naturalmente aos expoentes fracionários:
\[ a^{\frac{p}{q}} \cdot a^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{p}{q} + \frac{r}{s}} = a^{\frac{ps + qr}{qs}} \]
A definição garante que a propriedade geral das potências seja respeitada e mantém a coerência de toda a estrutura algébrica.
Exercícios sobre as Propriedades das Potências
Exercício 1. Simplifique: \( a^5 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot b^4 \)
Solução. Aplicamos a propriedade do produto de potências com a mesma base, somando os expoentes:
\begin{align} a^5 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot b^4 &= a^{5+3} \cdot b^{2+4} \\ &= a^8 \cdot b^6 \end{align}
Resultado: \( a^8 \cdot b^6 \).
Exercício 2. Simplifique \( (a^3 \cdot b^2)^4 \).
Solução. Aplicamos a propriedade das potências ao produto, elevando cada fator ao novo expoente:
\[ \begin{align*} (a^3 \cdot b^2)^4 &= (a^3)^4 \cdot (b^2)^4 \\ &= a^{3 \cdot 4} \cdot b^{2 \cdot 4} \\ &= a^{12} \cdot b^8 \end{align*} \]
Resultado: \( a^{12} \cdot b^8 \).
Exercício 3. Simplifique:
\[ \frac{a^6 \cdot b^8}{a^2 \cdot b^3} \]
Solução. Utilizamos a propriedade da divisão de potências com a mesma base, subtraindo os expoentes:
\begin{align} \frac{a^6 \cdot b^8}{a^2 \cdot b^3} &= \frac{a^6}{a^2} \cdot \frac{b^8}{b^3} \\ &= a^{6-2} \cdot b^{8-3} \\ &= a^4 \cdot b^5 \end{align}
Resultado: \( a^4 \cdot b^5 \).
Exercício 4. Simplifique:
\[ \left(\frac{a^3 \cdot b^5}{a \cdot b^2}\right)^2 \]
Solução. Começamos por simplificar os termos dentro dos parênteses, depois aplicamos a potência ao resultado:
\[ \begin{align} \frac{a^3 \cdot b^5}{a \cdot b^2} &= \frac{a^3}{a} \cdot \frac{b^5}{b^2} \\ &= a^{3-1} \cdot b^{5-2} \\ &= a^2 \cdot b^3 \end{align} \]
Agora, aplicamos a potência ao resultado simplificado:
\[ \begin{align} \left(a^2 \cdot b^3\right)^2 &= (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 \\ &= a^{2 \cdot 2} \cdot b^{3 \cdot 2} \\ &= a^4 \cdot b^6 \end{align} \]
Resultado: \( a^4 \cdot b^6 \).
Exercício 5. Simplifique:
\[ \frac{(a^3 \cdot b^2)^2 \cdot b^4}{a^4 \cdot b^5} \]
Solução. Começamos por calcular a potência do numerador:
\[ \begin{align} (a^3 \cdot b^2)^2 &= (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 \\ &= a^{3 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} \\ &= a^6 \cdot b^4 \end{align} \]
Adicionamos o termo \( b^4 \) ao numerador:
\begin{align} a^6 \cdot b^4 \cdot b^4 &= a^6 \cdot b^{4+4} \\ &= a^6 \cdot b^8 \end{align}
Agora simplificamos o quociente:
\begin{align} \frac{a^6 \cdot b^8}{a^4 \cdot b^5} &= \frac{a^6}{a^4} \cdot \frac{b^8}{b^5} \\ &= a^{6-4} \cdot b^{8-5} \\ &= a^2 \cdot b^3 \end{align}
Resultado: \( a^2 \cdot b^3 \).