Para compreender a fundo as propriedades dos logaritmos, começaremos pela sua definição. A partir daqui, demonstraremos passo a passo as principais regras que permitem simplificar e manipular as expressões logarítmicas. Cada propriedade será acompanhada de um exercício resolvido para pôr em prática o que foi aprendido.
Definição. Dado um número real positivo \( x > 0 \) e uma base \( b > 0 \) com \( b \neq 1 \), o logaritmo de \( x \) na base \( b \), indicado por \( \log_b(x) \), é o expoente \( y \) tal que \( b^y = x \). Formalmente:
\[ \log_b(x) = y \iff b^y = x \]
Índice
Identidade fundamental
A identidade fundamental dos logaritmos diz-nos que se calcularmos \( b^{\log_b(a)} \), obtemos \( a \). Esta propriedade é essencial para resolver equações logarítmicas e exponenciais.
\[ b^{\log_b(a)} = a \quad \text{com} \quad a > 0 \]
Esta é uma consequência direta da definição de logaritmo. Com efeito, \( \log_b(a) \) é precisamente aquele expoente que, quando \( b \) é elevado a ele, dá como resultado \( a \).
Exercício. Calcule \( 3^{\log_3(81)} \).
Solução. Usando a propriedade \( b^{\log_b(a)} = a \), podemos escrever:
\[ 3^{\log_3(81)} = 81 \]
Resultado: \( 81 \).
Regra do expoente
A regra do expoente permite-nos calcular o logaritmo de uma potência. Esta regra transforma o logaritmo de uma potência no produto entre o expoente e o logaritmo da base da potência.
\[\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \quad \text{com} \quad x > 0 \]
Demonstração. Seja \( k = \log_b(x) \). Por definição de logaritmo, isto significa que \( b^k = x \). Portanto:
\[ \log_b(x^n) = \log_b((b^k)^n) = \log_b(b^{kn}) = kn = n \cdot \log_b(x) \]
Exercício. Simplifique \( \log_2(32^3) \).
Solução. Usamos a regra \( \log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \):
\[ \log_2(32^3) = 3 \cdot \log_2(32) \]
Dado que \( 32 = 2^5 \), temos:
\[ \log_2(32) = 5 \]
Portanto:
\[ \log_2(32^3) = 3 \cdot 5 = 15 \]
Resultado: \( 15 \).
Regra do produto
A regra do produto diz-nos que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores. Esta regra é fundamental para simplificar expressões com produtos.
\[\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) \quad \text{com} \quad x, y > 0 \]
Demonstração. Sejam \( k = \log_b(x) \) e \( h = \log_b(y) \). Por definição de logaritmo: \( b^k = x \) e \( b^h = y \). Portanto:
\[ x \cdot y = b^k \cdot b^h = b^{k+h} \]
\[ \log_b(x \cdot y) = \log_b(b^{k+h}) = k + h = \log_b(x) + \log_b(y) \]
Exercício. Calcule \( \log_5(25) + \log_5(4) \) e compare com \( \log_5(100) \).
Solução. Usamos a regra do produto:
\[ \log_5(25) + \log_5(4) = \log_5(25 \cdot 4) \]
Dado que \( 25 \cdot 4 = 100 \), temos:
\[ \log_5(25) + \log_5(4) = \log_5(100) \]
Dado que \( 25 = 5^2 \), temos \( \log_5(25) = 2 \), e consequentemente:
\[ \log_5(100) = 2 + \log_5(4) \]
Resultado: \( \log_5(25) + \log_5(4) = \log_5(100) \).
Regra do quociente
A regra do quociente diz-nos que o logaritmo de um quociente é igual à diferença dos logaritmos. Esta regra é útil para simplificar expressões com frações.
\[\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y) \quad \text{com} \quad x, y > 0 \]
Demonstração. Sejam \( k = \log_b(x) \) e \( h = \log_b(y) \). Por definição de logaritmo: \( b^k = x \) e \( b^h = y \). Portanto:
\[ \frac{x}{y} = \frac{b^k}{b^h} = b^{k-h} \]
\[ \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(b^{k-h}) = k - h = \log_b(x) - \log_b(y) \]
Exercício. Simplifique \( \log_3(81) - \log_3(9) \).
Solução. Usamos a regra do quociente:
\[ \log_3(81) - \log_3(9) = \log_3\left(\frac{81}{9}\right) \]
Dado que \( \displaystyle\frac{81}{9} = 9 \), temos:
\[ \log_3(81) - \log_3(9) = \log_3(9) \]
Dado que \( 9 = 3^2 \), segue-se que:
\[ \log_3(9) = 2 \]
Resultado: \( 2 \).
Mudança de base
A fórmula da mudança de base permite-nos expressar um logaritmo numa base qualquer usando os logaritmos noutra base. É particularmente útil quando queremos usar a calculadora, que frequentemente só tem as teclas \( \ln \) e \( \log_{10} \).
\[\log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)} \quad \text{com} \quad x, b > 0 \quad , \quad b \neq 1 \quad , \quad c > 0 \quad ,\quad c \neq 1 \]
Exercício. Escreva \( \log_2(40) \) usando o logaritmo natural (\( \ln \)).
Solução. Usamos a fórmula da mudança de base:
\[ \log_2(40) = \frac{\ln(40)}{\ln(2)} \]
Resultado: \( \displaystyle \frac{\ln(40)}{\ln(2)} \).