A projeção de um ponto sobre uma reta representa um dos conceitos fundamentais da geometria analítica. Dado um ponto \(P(x_0, y_0)\) e uma reta \(r: ax + by + c = 0\), a projeção ortogonal de \(P\) sobre \(r\) é aquele ponto \(H\) da reta que realiza a distância euclidiana mínima a partir de \(P\). Geometricamente, \(H\) é o pé da perpendicular traçada de \(P\) à reta \(r\).
Índice
- Definição
- Demonstração da distância ponto–reta no plano
- Vetor normal e reta perpendicular
- Coordenadas do pé da perpendicular
- Método Alternativo: Projeção Vetorial
- Exercícios sobre a Distância Ponto-Reta
Definição
Definição. A projeção ortogonal do ponto \(P(x_0, y_0)\) sobre a reta \(r: ax + by + c = 0\) é o único ponto \(H \in r\) tal que o vetor \(\overrightarrow{PH}\) seja paralelo ao vetor normal \(\vec{n} = (a, b)\).
Esta caracterização é equivalente a exigir que \(H\) minimize a distância euclidiana \(|PQ|\) para todos os pontos \(Q \in r\).
Demonstração da distância ponto–reta no plano
Seja um ponto \( P(x_0, y_0) \) e uma reta \( r: ax + by + c = 0 \). Queremos calcular a distância entre o ponto e a reta, ou seja:
\[ d(P, r) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Vetor normal e reta perpendicular
A reta \( r \) tem como vetor normal \( \vec{n} = (a, b) \). Consideremos a reta perpendicular a \( r \) que passa pelo ponto \( P(x_0, y_0) \). Suas equações paramétricas são:
\[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \]
Agora, impomos que o ponto da reta perpendicular pertença a \( r \). Substituindo na sua equação:
\[ a(x_0 + at) + b(y_0 + bt) + c = 0 \]
\[ ax_0 + a^2t + by_0 + b^2t + c = 0 \Rightarrow (a^2 + b^2)t + (ax_0 + by_0 + c) = 0 \]
\[ t = -\frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} \]
Coordenadas do pé da perpendicular
Substituindo \( t \) nas equações paramétricas, obtemos as coordenadas do ponto \( H \):
\[ x_H = x_0 - a \cdot \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} \quad y_H = y_0 - b \cdot \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} \]
A distância entre \( P \) e \( H \) é dada por:
\[ d = \sqrt{(x_0 - x_H)^2 + (y_0 - y_H)^2} \]
Observamos que:
\[ x_0 - x_H = \frac{a(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2}, \quad y_0 - y_H = \frac{b(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2} \]
Portanto:
\[ d = \sqrt{ \left( \frac{a(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2} \right)^2 + \left( \frac{b(ax_0 + by_0 + c)}{a^2 + b^2} \right)^2 } \]
\[ = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Demonstramos a fórmula da distância entre um ponto e uma reta:
\[ d(P, r) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Método Alternativo: Projeção Vetorial
Consideremos um ponto \( P(x_0, y_0) \) e uma reta \( r: ax + by + c = 0 \). Seja \( Q(x_1, y_1) \) um ponto qualquer da reta (por exemplo, obtido resolvendo \( r \) em relação a \( y \)). O vetor que une \( P \) e \( Q \) é:
\[ \vec{PQ} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0) \]
Seja \( \vec{n} = (a, b) \) o vetor normal à reta. A distância entre o ponto \( P \) e a reta \( r \) é dada pelo módulo da projeção do vetor \( \vec{PQ} \) sobre o vetor normal unitário:
\[ d = \left| \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{\|\vec{n}\|} \right| \]
Desenvolvemos o produto escalar:
\[ \vec{PQ} \cdot \vec{n} = a(x_1 - x_0) + b(y_1 - y_0) = ax_1 + by_1 - ax_0 - by_0 \]
Uma vez que \( Q \in r \), então \( ax_1 + by_1 + c = 0 \), isto é \( ax_1 + by_1 = -c \). Obtemos:
\[ \vec{PQ} \cdot \vec{n} = -c - ax_0 - by_0 = -(ax_0 + by_0 + c) \]
Finalmente:
\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
que coincide com a fórmula obtida por via geométrica.
Exercícios sobre a Distância Ponto-Reta
Fórmula da distância
Para uma reta na forma geral \(ax + by + c = 0\) e um ponto \(P(x_0, y_0)\), a distância é:
\[d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]
Exercício 1. Calcule a distância do ponto \(P(3, -2)\) à reta \(r: 4x - 3y + 1 = 0\).
Solução. Dados:
- Ponto: \(P(3, -2)\), portanto \(x_0 = 3\) e \(y_0 = -2\)
- Reta: \(4x - 3y + 1 = 0\), portanto \(a = 4\), \(b = -3\), \(c = 1\)
Aplicando a fórmula:
\[d = \frac{|4 \cdot 3 + (-3) \cdot (-2) + 1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}\]
\[d = \frac{|12 + 6 + 1|}{\sqrt{16 + 9}}\]
\[d = \frac{|19|}{\sqrt{25}}\]
\[d = \frac{19}{5}\]
Exercício 2. Determine a distância do ponto \(A(-1, 5)\) à reta \(s: 2x + y - 7 = 0\).
Solução: Dados:
- Ponto: \(A(-1, 5)\), portanto \(x_0 = -1\) e \(y_0 = 5\)
- Reta: \(2x + y - 7 = 0\), portanto \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -7\)
Aplicando a fórmula:
\[d = \frac{|2 \cdot (-1) + 1 \cdot 5 + (-7)|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}\]
\[d = \frac{|-2 + 5 - 7|}{\sqrt{4 + 1}}\]
\[d = \frac{|-4|}{\sqrt{5}}\]
\[d = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}\]
Exercício 3. Encontre a distância do ponto \(B(0, 4)\) à reta \(t: x - 2y + 3 = 0\).
Solução: Dados:
- Ponto: \(B(0, 4)\), portanto \(x_0 = 0\) e \(y_0 = 4\)
- Reta: \(x - 2y + 3 = 0\), portanto \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 3\)
Aplicando a fórmula:
\[d = \frac{|1 \cdot 0 + (-2) \cdot 4 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}\]
\[d = \frac{|0 - 8 + 3|}{\sqrt{1 + 4}}\]
\[d = \frac{|-5|}{\sqrt{5}}\]
\[d = \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}\]
Exercício 4. Calcule a distância do ponto \(C(2, -3)\) à reta \(u: 3x + 4y - 12 = 0\).
Solução: Dados:
- Ponto: \(C(2, -3)\), portanto \(x_0 = 2\) e \(y_0 = -3\)
- Reta: \(3x + 4y - 12 = 0\), portanto \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = -12\)
Aplicando a fórmula:
\[d = \frac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot (-3) + (-12)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\]
\[d = \frac{|6 - 12 - 12|}{\sqrt{9 + 16}}\]
\[d = \frac{|-18|}{\sqrt{25}}\]
\[d = \frac{18}{5}\]
Exercício 5. Determine a distância do ponto \(D(-4, 1)\) à reta \(v: 5x - 12y + 8 = 0\).
Solução: Dados:
- Ponto: \(D(-4, 1)\), portanto \(x_0 = -4\) e \(y_0 = 1\)
- Reta: \(5x - 12y + 8 = 0\), portanto \(a = 5\), \(b = -12\), \(c = 8\)
Aplicando a fórmula:
\[d = \frac{|5 \cdot (-4) + (-12) \cdot 1 + 8|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}}\]
\[d = \frac{|-20 - 12 + 8|}{\sqrt{25 + 144}}\]
\[d = \frac{|-24|}{\sqrt{169}}\]
\[d = \frac{24}{13}\]