Equações do Segundo Grau

Uma equação é de segundo grau se, e somente se, puder ser escrita na seguinte forma, chamada de forma canônica:

\[ a x ^ 2 + b x + c = 0 \quad , \quad a \neq 0 \]

Os números reais \( a , b \) e \( c \) são chamados de coeficiente quadrático, coeficiente linear e termo constante.

Sempre se pode supor que o coeficiente quadrático seja maior que zero. De fato, no caso em que \( a < 0 \), basta multiplicar ambos os membros por \( -1 \) para se reduzir ao caso \( a > 0 \).

Índice

• Completação de Quadrados
• Fórmula Reduzida
• Equações de Segundo Grau Monômias
• Equações de Segundo Grau Puras
• Equações de Segundo Grau Impróprias
• Relação entre Soma e Produto das Raízes
• Exercícios Resolvidos
• Significado Geométrico

Nesta seção, deduziremos a fórmula geral para resolver qualquer equação de segundo grau. Comecemos pela forma canônica:

\[ ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0 \]

Para simplificar os cálculos, dividimos tudo por \( a \), de modo a tornar o coeficiente do termo quadrático igual a 1:

\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \]

Agora isolamos o termo constante, colocando-o no lado direito:

\[ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \]

Neste ponto, aplicamos o método de completação de quadrados. O truque consiste em adicionar e subtrair o termo correto para transformar o primeiro membro em um quadrado perfeito. Esse termo é:

\[ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]

Adicionemos este termo a ambos os membros:

\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]

O primeiro membro agora é o quadrado de um binômio:

\[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} \]

Reescrevamos o segundo membro com denominador comum:

\[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \]

Agora extraímos a raiz quadrada de ambos os membros, lembrando que a raiz de um quadrado é o valor absoluto:

\[ \left| x + \frac{b}{2a} \right| = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Daqui, obtemos diretamente \( x \):

\[ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Finalmente, isolamos \( x \) e obtemos a famosa fórmula resolutiva:

\[ x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

O termo sob a raiz, conhecido como discriminante e indicado por \( \Delta \), é definido como:

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Mas o que representa o discriminante? Ele nos permite entender rapidamente o tipo de soluções que a equação terá. Vamos analisá-lo nos três casos possíveis:

• \( \Delta > 0 \): o discriminante é positivo, logo a raiz é um número real. Isso significa que a equação tem duas soluções reais e distintas.
• \( \Delta = 0 \): a raiz quadrada de zero é zero, então a fórmula nos dá uma única solução repetida. Em outras palavras, a equação tem duas soluções coincidentes (ou uma solução dupla).
• \( \Delta < 0 \): a raiz de um número negativo não é um número real, então a equação não tem soluções reais, mas duas soluções complexas com parte imaginária.

Isso significa que, apenas observando o valor de \( \Delta \), podemos prever a natureza das soluções sem precisar resolver diretamente a equação.

A fórmula reduzida é uma versão simplificada da fórmula resolutiva das equações do segundo grau, útil quando o coeficiente \( b \) é par.

Consideremos uma equação do segundo grau na forma canônica:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Se o coeficiente \( b \) é par, podemos escrevê-lo como:

\[ b = 2k \]

Substituindo na equação, obtemos:

\[ ax^2 + 2kx + c = 0 \]

A fórmula resolutiva clássica é:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Substituindo \( b = 2k \):

\[ x = \frac{-2k \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a} \]

\[ x = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a} \]

\[ x = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a} \]

Dividindo o numerador e o denominador por 2:

\[ x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a} \]

Por fim, podemos expressar a fórmula reduzida como:

\[ x = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac}}{a} \]

O discriminante reduzido é dado por:

\[ \Delta' = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac \]

Agora, vamos compará-lo com o discriminante da fórmula completa:

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Substituindo \( b = 2k \), obtemos:

\[ \Delta = (2k)^2 - 4ac \]

\[ \Delta = 4k^2 - 4ac \]

Dividindo tudo por 4:

\[ \frac{\Delta}{4} = k^2 - ac \]

Como \( k = \displaystyle \frac{b}{2} \), podemos reescrever:

\[ \frac{\Delta}{4} = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac \]

que é exatamente a definição de \( \Delta' \).

Assim, podemos concluir que:

\[ \Delta' = \frac{\Delta}{4} \]

Uma equação é chamada de monômia se se reduz a um único termo quadrático, ou seja, da forma:

\[ ax^2 = 0 \]

Para resolver esta equação, dividimos ambos os membros por \( a \) (assumindo \( a \neq 0 \)):

\[ x^2 = 0 \]

Extraindo a raiz quadrada, obtemos a solução:

\[ x = 0 \]

Embora o valor seja único, matematicamente considera-se que há duas soluções coincidentes: \( x_1 = x_2 = 0 \).

Uma equação é chamada de pura se, na forma geral \( ax^2 + bx + c = 0 \), o coeficiente \( b \) é nulo, reduzindo-se a:

\[ ax^2 + c = 0 \]

Para resolver esta equação, levamos o termo constante \( c \) para o segundo membro:

\[ ax^2 = -c \]

Dividimos ambos os membros por \( a \):

\[ x^2 = -\frac{c}{a} \]

As soluções existem somente se \( \displaystyle -\frac{c}{a} \geq 0 \), caso contrário, a equação não possui soluções reais. Se o valor sob a raiz for positivo, obtemos:

\[ x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \]

Uma equação é chamada de espúria se o termo constante é nulo, ou seja:

\[ ax^2 + bx = 0 \]

Nesse caso, podemos resolvê-la colocando \( x \) como fator comum:

\[ x (ax + b) = 0 \]

Aplicando a lei do anulamento do produto, obtemos as duas soluções:

\[ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = -\frac{b}{a} \]

Essas soluções também podem ser encontradas aplicando a fórmula geral de resolução das equações do segundo grau.

Consideremos a equação quadrática do tipo \( ax^2 + bx + c = 0 \), onde \( a \), \( b \) e \( c \) são os coeficientes. Seja \( x_1 \) e \( x_2 \) as raízes dessa equação. Agora, queremos escrever a equação em termos das raízes. Uma equação do segundo grau pode ser escrita como o produto dos fatores \( (x - x_1) \) e \( (x - x_2) \), portanto podemos escrever:

\[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \]

Desenvolvendo o produto à esquerda, obtemos:

\[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 \]

Agora, pela propriedade distributiva, multiplicamos \( a \) por cada termo, obtendo:

\[ ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0 \]

Nesse ponto, podemos comparar essa expressão com a equação original \( ax^2 + bx + c = 0 \). Em particular, vemos que os coeficientes devem ser iguais. Comparando o termo linear, obtemos:

\[ -a(x_1 + x_2) = b \]

Resolvendo para \( x_1 + x_2 \), obtemos:

\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]

Da mesma forma, comparando o termo constante, obtemos:

\[ ax_1x_2 = c \]

Resolvendo para o produto das raízes, obtemos:

\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]

Em resumo, as raízes \( x_1 \) e \( x_2 \) estão relacionadas aos coeficientes \( a \), \( b \) e \( c \) através dessas duas relações simples: a soma das raízes é \( \displaystyle -\frac{b}{a} \) e o produto das raízes é \( \displaystyle \frac{c}{a} \). Essas propriedades são fundamentais e nos permitem deduzir informações importantes sobre as raízes sem calculá-las diretamente.

Exercício 1. Resolva a equação do segundo grau \( x^2 - 3x - 5 = 0 \).

Solução. Para resolvê-la, utilizamos a seguinte fórmula:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Neste caso, os coeficientes são \( a = 1 \), \( b = -3 \) e \( c = -5 \). Aplicando a fórmula:

\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2} \]

As soluções são:

\[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{29}}{2} \quad , \quad  x_2 = \frac{3 - \sqrt{29}}{2} \]

Exercício 2 (forma reduzida). Encontre as soluções da equação \( x^2 + 6x = 0 \).

Solução. Para resolvê-la, podemos colocar \( x \) em evidência:

\[ x(x + 6) = 0 \]

As soluções são: \( x_1 = 0 \) e \( x_2 = -6 \).

Exercício 3 (equação monômia). Encontre as soluções da equação \( x^2 = 16 \).

Solução. Para resolvê-la, podemos extrair a raiz quadrada de ambos os lados:

\[ x = \pm \sqrt{16} = \pm 4 \]

As soluções são: \( x_1 = 4 \) e \( x_2 = -4 \).

Exercício 4 (equação pura). Encontre as soluções da equação \( x^2 + 9 = 0 \).

Solução. Isolamos \( x^2 \):

\[ x^2 = -9 \]

Como não existem números reais que satisfaçam esta equação, ela não possui soluções reais.

Exercício 5. Encontre as soluções da equação \( x^2 - 4 = 0 \).

Solução. Isolamos \( x^2 \):

\[ x^2 = 4 \]

Agora, extraímos a raiz quadrada de ambos os lados:

\[ x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \]

As soluções são:

\[ x_1 = 2 \quad , \quad x_2 = -2 \]

Do ponto de vista geométrico, resolver uma equação de segundo grau significa encontrar os valores reais (se existirem) para os quais a parábola com a equação \( y = ax^2 + bx + c \) intercepta o eixo das abscissas \( x \) ou, se preferir, a reta \( y = 0 \).