As sequências monótonas (tanto crescentes quanto decrescentes) gozam de uma propriedade muito importante: sempre possuem limite, finito ou infinito. Este resultado, conhecido como teorema do limite de uma sequência monótona, nos diz precisamente que uma sequência crescente tende ao seu supremo, enquanto uma sequência decrescente tende ao seu ínfimo.
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Teorema (limite de uma sequência monótona). Seja \( \{ a_n \}\) uma sequência monótona. Então ela possui limite e tem-se
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \begin{cases} \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{ R } \cup \{ +\infty \} &\text{se} \ \{ a_n \} \ \text{é crescente,} \\ \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{ R } \cup \{ -\infty \} &\text{se} \ \{ a_n \} \ \text{é decrescente.} \end{cases} \]
Demonstração para \( a_n \) Crescente
Demonstração (\( \{ a_n \} \) crescente). Seja \(S = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Por definição de supremo:
\[\forall n \in \mathbb{N} \quad : \quad a_n \leq S\]
\[\forall \varepsilon > 0\ \quad \exists k \in \mathbb{N} \quad : \quad S - \varepsilon < a_k\]
Como a sequência é crescente, para todo \(n \geq k\) temos:
\[S - \varepsilon < a_k \leq a_n \leq S\]
Portanto:
\[ |a_n - S| < \varepsilon \quad \forall n \geq k \]
Consequentemente, \(\lim_{n \to \infty} a_n = S = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Se, ao contrário, \(S = +\infty\), então \(\{a_n\}\) não possui majorantes e, portanto,
\[\forall M > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad a_\nu > M;\]
pelo caráter crescente de \(\{a_n\}\) segue-se que
\[a_n \geq a_\nu > M \quad \forall n \geq \nu \]
isto é, \(a_n \to +\infty\) quando \(n \to +\infty\).
Demonstração para \( a_n \) Decrescente
Demonstração (\( \{ a_n \} \) decrescente). Seja \(L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Por definição de ínfimo:
\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad : \quad L \leq a_n \]
\[ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists k \in \mathbb{N} \quad : \quad L \leq a_k < L + \varepsilon \]
Como a sequência é decrescente, para todo \(n \geq k\) temos:
\[ L \leq a_n \leq a_k < L + \varepsilon \]
Portanto:
\[ |a_n - L| < \varepsilon \quad \forall n \geq k \]
Consequentemente, \(\lim_{n \to \infty} a_n = L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Se, ao contrário, \(L = -\infty\), então \(\{a_n\}\) não possui minorantes e, portanto,
\[\forall M > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad a_\nu < -M;\]
pelo caráter decrescente de \(\{a_n\}\) segue-se que
\[a_n \leq a_\nu < -M \quad \forall n \geq \nu \]
isto é, \(a_n \to -\infty\) quando \(n \to +\infty\).
Em ambos os casos, demonstramos que o limite existe e é igual ao supremo no caso crescente e ao ínfimo no caso decrescente.