Queremos demonstrar que:
\[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e \]
Demonstração com Logaritmos e a Regra de L'Hôpital
Definimos a função:
\[ y = \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \]
Tomamos o logaritmo natural:
\[ \ln y = x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \]
Agora, estudamos o limite:
\[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \]
Aplicamos a regra de L'Hôpital à forma indeterminada \( \frac{0}{0} \):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1 + \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = 1 \]
Portanto, \( \ln y \to 1 \), e assim \( y \to e \).
Demonstração do limite com a Série de Taylor
Consideramos a função:
\[ y = \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \]
Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
\[ \ln y = x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \]
Para calcular o limite, utilizamos o desenvolvimento em série de Taylor do logaritmo natural em torno de \( u = 0 \):
\[ \ln(1 + u) \approx u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \dots, \quad \text{quando } u \to 0 \]
Seja \( u = \frac{1}{x} \). Substituindo no desenvolvimento, obtemos:
\[ \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \approx \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \dots \]
Multiplicamos ambos os lados por \( x \):
\[ x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \approx x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \dots \right) \]
Simplificando os termos:
\[ x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \approx 1 - \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x^2} - \dots \]
Quando \( x \to \infty \), todos os termos da forma \( \frac{1}{x^n} \) com \( n \geq 1 \) tendem a 0. Assim, obtemos:
\[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) = 1 \]
Elevando ambos os lados a \( e \), obtemos:
\[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e^1 = e \]