Queremos demonstrar que:
\[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x = e^a \]
Demonstração usando logaritmos e a regra de L'Hôpital
Definimos a função:
\[ y = \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x \]
Tomamos o logaritmo natural:
\[ \ln y = x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \]
Agora estudamos o limite:
\[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \]
Aplicamos a regra de L'Hôpital à forma indeterminada \( \frac{0}{0} \):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}} = a \]
Portanto, \( \ln y \to a \), e consequentemente \( y \to e^a \).
Demonstração usando a série de Taylor
Consideremos a função:
\[ y = \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x \]
Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
\[ \ln y = x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \]
Para calcular o limite, utilizamos a expansão em série de Taylor do logaritmo natural em torno de \( u = 0 \):
\[ \ln(1 + u) \approx u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \dots, \quad \text{quando } u \to 0 \]
Seja \( u = \frac{a}{x} \). Substituindo na expansão, obtemos:
\[ \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \approx \frac{a}{x} - \frac{a^2}{2x^2} + \frac{a^3}{3x^3} - \dots \]
Multiplicamos ambos os lados por \( x \):
\[ x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \approx x \left( \frac{a}{x} - \frac{a^2}{2x^2} + \frac{a^3}{3x^3} - \dots \right) \]
Simplificando os termos:
\[ x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) \approx a - \frac{a^2}{2x} + \frac{a^3}{3x^2} - \dots \]
Como \( x \to \infty \), todos os termos da forma \( \frac{a^n}{x^n} \) com \( n \geq 1 \) tendem a 0. Portanto, obtemos:
\[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 + \frac{a}{x} \right) = a \]
Elevando ambos os lados como expoente de \( e \), obtemos:
\[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^x = e^a \]