Queremos calcular o limite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b} \]
Nesta demonstração, veremos dois métodos principais para calcular o limite em questão. O primeiro método baseia-se na utilização da conhecida propriedade do limite, que afirma que \(\lim_{x \to 0} \displaystyle \frac{\sin(x)}{x} = 1\), aplicada de forma adequada. O segundo método utiliza as séries de Taylor para aproximar \(\sin(x)\) em torno de \(x = 0\), o que nos permite obter o resultado de maneira analítica. Vamos agora ver ambas as demonstrações em detalhe.
Método utilizando a propriedade do limite
Escrevemos o limite como:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(ax)}{ax} \cdot \frac{bx}{\sin(bx)} \cdot \frac{a}{b} \right) \]
Utilizamos a propriedade \(\lim_{x \to 0} \displaystyle \frac{\sin(x)}{x} = 1\), aplicando-a a \(\sin(ax)\) e \(\sin(bx)\):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1 \quad \text{e} \quad \lim_{x \to 0} \frac{bx}{\sin(bx)} = 1 \]
Portanto, o limite se simplifica para:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b} \]
Método utilizando as séries de Taylor
A série de Taylor para \(\sin(x)\) em torno de \(x = 0\) é:
\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \]
Utilizando essa expansão, podemos escrever \(\sin(ax)\) e \(\sin(bx)\) como:
\[ \sin(ax) = ax - \frac{(ax)^3}{6} + O(x^5) \quad \text{e} \quad \sin(bx) = bx - \frac{(bx)^3}{6} + O(x^5) \]
Agora, consideramos a razão \(\displaystyle \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)}\):
\[ \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{ax - \displaystyle \frac{(ax)^3}{6} + O(x^5)}{bx - \displaystyle \frac{(bx)^3}{6} + O(x^5)} \]
Quando \(x \to 0\), os termos que contêm \(x^2\) e os de ordem superior tendem a zero. Assim, o limite se torna:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b} \]