Queremos demonstrar o seguinte limite:
\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e \]
Demonstramos o limite utilizando dois métodos distintos: o logaritmo natural e sua derivada, e o desenvolvimento em série de Taylor.
Logaritmo natural e derivada
Definimos:
\[ y = (1 + x)^{\frac{1}{x}} \]
Aplicamos o logaritmo natural:
\[ \ln y = \frac{1}{x} \ln(1 + x) \]
Calculamos o limite do termo à direita:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \]
Utilizando o limite fundamental:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \]
Obtemos:
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 1 \]
O que implica:
\[ \lim_{x \to 0} y = e \]
Desenvolvimento de Taylor
Utilizamos o desenvolvimento de Taylor para \( \ln(1 + x) \) em torno de \( x = 0 \):
\[ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \]
Então:
\[ \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + O(x^2) \]
Tomando o limite quando \( x \to 0 \), obtemos:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \]
Portanto:
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 1 \]
O que implica:
\[ \lim_{x \to 0} y = e \]
Assim, demonstramos o limite com duas abordagens diferentes.
Exercícios
Utilizando o limite notável, calcule os seguintes limites:
Exercício 1. Calcular:
\[ \lim_{x \to 0} \left( 1 + 2x \right)^{\frac{1}{x}} \]
Solução. Definimos \( y = (1 + 2x)^{\frac{1}{x}} \) e tomamos o logaritmo:
\[ \ln y = \frac{1}{x} \ln(1 + 2x) \]
Usando o limite fundamental:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} = 2 \]
Então:
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 2 \Rightarrow \lim_{x \to 0} y = e^2 \]
Exercício 2. Calcular:
\[ \lim_{x \to 0} \left( 1 + x^2 \right)^{\frac{1}{x^2}} \]
Solução. Definimos \( y = (1 + x^2)^{\frac{1}{x^2}} \) e tomamos o logaritmo:
\[ \ln y = \frac{1}{x^2} \ln(1 + x^2) \]
Usando o desenvolvimento de Taylor:
\[ \ln(1 + x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6) \]
Temos:
\[ \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \]
Tomando o limite:
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = 1 \Rightarrow \lim_{x \to 0} y = e \]