Nesta demonstração, vamos calcular o seguinte limite notável:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a). \]
Este resultado é fundamental, e para prová-lo, utilizaremos dois enfoques distintos.
- Desenvolvimento de Taylor
- Demonstração do Limite usando a Derivada
- Derivada da função exponencial
- Conclusão
Desenvolvimento de Taylor
Utilizamos a definição da função exponencial:
\[ a^x = e^{x \ln a}. \]
Desenvolvemos \( e^{x \ln a} \) em uma série de Taylor ao redor de \( x = 0 \):
\[ e^{x \ln a} = 1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \frac{(x \ln a)^3}{3!} + \dots \]
Substituindo essa expansão no limite:
\[ \frac{a^x - 1}{x} = \frac{\left(1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \dots\right) - 1}{x}. \]
Simplificando:
\[ \frac{x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \dots}{x}. \]
Dividindo tudo por \( x \):
\[ \ln a + \frac{x \ln^2 a}{2!} + \frac{x^2 \ln^3 a}{3!} + \dots. \]
Quando \( x \to 0 \), os termos com \( x \) tendem a zero, deixando:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a. \]
Demonstração do Limite usando a Derivada
Nesta parte da demonstração, calculamos o limite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a). \]
Para isso, utilizamos a definição de derivada. A derivada de uma função \( f(x) \) em um ponto \( x = a \) é definida como:
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}. \]
No nosso caso, a função é \( f(x) = a^x \), então precisamos calcular a derivada de \( f(x) \) em \( x = 0 \). A derivada de \( f(x) = a^x \) é:
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{0+h} - a^0}{h}. \]
Como \( a^0 = 1 \), essa expressão se torna:
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}. \]
Esta é exatamente a forma do limite que estamos tentando calcular!
Derivada da função exponencial
Para encontrar a derivada de \( a^x \), podemos reescrever \( a^x \) como \( e^{x \ln a} \), onde \( \ln a \) é o logaritmo natural de \( a \). Assim, a derivada de \( a^x \) é:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} e^{x \ln a} = e^{x \ln a} \cdot \ln a. \]
Quando \( x = 0 \), obtemos:
\[ f'(0) = e^{0 \ln a} \cdot \ln a = 1 \cdot \ln a = \ln a. \]
Conclusão
Assim, mostramos que a derivada da função \( a^x \) em \( x = 0 \) é \( \ln a \), o que implica que:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \ln a. \]
Este é exatamente o limite que queríamos calcular, concluindo a demonstração.