Nesta demonstração, vamos calcular o limite notável:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha. \]
Para demonstrar este limite, utilizaremos o desenvolvimento em série de Taylor em torno do ponto \( x = 0 \) e a definição de derivada para calcular o limite como a derivada da função \( (1+x)^{\alpha} \) em \( x = 0 \).
Desenvolvimento em Série de Taylor
Vamos começar com o primeiro método, utilizando a série de Taylor da função \( (1+x)^{\alpha} \) em torno do ponto \( x = 0 \).
A série de Taylor de \( (1+x)^{\alpha} \) é dada por:
\[ (1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \dots \]
Agora, substituiremos esse desenvolvimento na expressão do limite:
\[ \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \frac{1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \dots - 1}{x} \]
Simplificando:
\[ \frac{\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \dots}{x} = \alpha + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x + \dots \]
Quando \( x \to 0 \), todos os termos com \( x \) tendem a zero, deixando apenas:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha. \]
Definição de Derivada
Outra forma de demonstrar o limite é utilizando a definição de derivada. Consideremos a função \( f(x) = (1+x)^{\alpha} \). A derivada de \( f(x) \) em \( x = 0 \) é definida como:
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}. \]
No nosso caso, \( f(x) = (1+x)^{\alpha} \), então:
\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^{\alpha} - (1+0)^{\alpha}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^{\alpha} - 1}{h}. \]
Esta é exatamente a forma do limite que precisamos calcular! A derivada da função \( f(x) = (1+x)^{\alpha} \) é:
\[ f'(x) = \alpha (1+x)^{\alpha-1}. \]
Assim, avaliando em \( x = 0 \):
\[ f'(0) = \alpha (1+0)^{\alpha-1} = \alpha. \]
Portanto, temos:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha. \]
Demonstramos o limite notável:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha, \] utilizando tanto o desenvolvimento em série de Taylor quanto a definição de derivada.