Nesta seção, demonstraremos o seguinte limite:
\[ \lim_{x \to \infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1 \]
Utilizaremos dois métodos distintos para a demonstração: o Teorema da Comparação, aproveitando desigualdades fundamentais do seno, e o desenvolvimento em série de Taylor da função em torno de \( x = 0 \).
Demonstração usando o Teorema da Comparação
Usamos as desigualdades fundamentais do seno:
\[ \sin x \leq x \]
Da qual segue que:
\[ \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq \frac{1}{x} \]
Multiplicando por \( x \):
\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1 \]
Da mesma forma, podemos usar a desigualdade:
\[ \sin x \geq x - \frac{x^3}{6} \]
O que leva a:
\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \geq 1 - \frac{1}{6x^2} \]
Aplicando o Teorema da Comparação e fazendo \( x \) tender ao infinito, obtemos:
\[ \lim_{x \to \infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1 \]
Demonstração usando o Desenvolvimento em Série de Taylor
Usamos o desenvolvimento de Taylor da função seno em torno de zero:
\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \mathcal{O}(x^5) \]
Seja \( x = \frac{1}{t} \), então, quando \( x \to \infty \), temos \( t \to 0 \), e substituímos:
\[ \sin\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{6x^3} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^5}\right) \]
Multiplicando por \( x \):
\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = x \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{6x^3} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^5}\right)\right) \]
\[ = 1 - \frac{1}{6x^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^4}\right) \]
Fazendo \( x \to \infty \), o termo \( \frac{1}{6x^2} \) tende a zero, então:
\[ \lim_{x \to \infty} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1 \]